Examen National — Session Normale 2023 — Physique-Chimie (PC)

Informations générales

• Filière : Sciences Expérimentales — Spécialité Sciences Physiques (Option Française / BIOF)
• Durée : 3 heures — Coefficient : 7
• 4 exercices indépendants : Chimie (7 pts), Physique — Radioactivité (2,5 pts), Physique — Électricité (5 pts), Physique — Mécanique (5,5 pts)

Chimie — Exercice 1 (7 points) : Étude de quelques réactions chimiques de l'acide éthanoïque

1. Étude d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque

On prépare un volume V d'une solution aqueuse (AS) d'acide éthanoïque CH₃COOH de concentration molaire CA = 5×10⁻² mol·L⁻¹. Son pH est pH = 3,05.

1.1. Écrire l'équation de la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau. (0,5 pt)

1.2. On définit la proportion de l'espèce CH₃COOH dans la solution (AS) à l'état d'équilibre par : α(CH₃COOH) = [CH₃COOH]éq / ([CH₃COOH]éq + [CH₃COO⁻]éq). En vous aidant du tableau d'avancement, montrer que α(CH₃COOH) = 1 − τ, où τ est le taux d'avancement final de la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau. Calculer la valeur de α(CH₃COOH). (0,75 pt)

1.3. Montrer que pKA1 = pKA(CH₃COOH/CH₃COO⁻) = 4,79. (0,5 pt)

2. Étude de la réaction de l'acide éthanoïque avec l'ion méthanoate

On mélange un volume V₁ de la solution (AS) avec un volume V₂ = V₁ d'une solution aqueuse (BS) de méthanoate de sodium Na⁺(aq) + HCOO⁻(aq) de concentration molaire CB = CA.

2.1. Écrire l'équation de la réaction entre les ions méthanoate et l'acide éthanoïque. (0,75 pt)

2.2. Établir l'expression du quotient de réaction à l'équilibre Qr,éq en fonction de KA1 et KA2 (constantes d'acidité des couples mis en jeu). Calculer sa valeur, sachant que pKA2 = pKA(HCOOH/HCOO⁻) = 3,75. (0,75 pt)

2.3. Établir l'expression du pH du mélange en fonction de pKA1 et pKA2. Calculer sa valeur. (0,5 pt)

3. Étude de la réaction de l'acide éthanoïque avec le méthanol

On réalise deux mélanges équimolaires d'acide éthanoïque et de méthanol CH₃OH : n₀(CH₃COOH) = n₀(CH₃OH) = 0,9 mol. Le suivi temporel de la quantité de matière nₐ de l'acide éthanoïque dans chaque mélange, à une même température θ, donne les courbes C1 et C2 (l'une avec catalyseur).

3.1. Écrire l'équation de la réaction (formules semi-développées). (0,5 pt)

3.2. Indiquer, en justifiant, la courbe correspondant à la réaction avec catalyseur. (0,5 pt)

3.3. Déterminer la composition du mélange réactionnel à l'équilibre. (0,5 pt)

3.4. Trouver la valeur de t1/2, temps de demi-réaction pour la transformation correspondant à la courbe C2. (0,5 pt)

3.5. Calculer le rendement de la transformation étudiée. (0,75 pt)

3.6. À l'équilibre, on ajoute à l'un des mélanges Δn = 0,1 mol d'acide éthanoïque. Sachant que K = 4, trouver le nouveau rendement. (0,5 pt)

Physique — Exercice 2 (2,5 points) : Désintégration et fusion du tritium

On étudie la désintégration du tritium ³₁H et sa réaction de fusion avec le deutérium ²₁H. ²₁H et ³₁H sont deux isotopes de l'hydrogène.

Données : M(³H) = 3 g·mol⁻¹ ; Nₐ = 6,02×10²³ mol⁻¹ ; t1/2(³₁H) = 12,32 ans ; 1 an = 3,16×10⁷ s. Énergies de liaison : Eℓ(²₁H) = 2,366 MeV ; Eℓ(³₁H) = 8,475 MeV ; Eℓ(⁴₂He) = 28,296 MeV.

1. Désintégration du tritium

1.1. Choisir l'affirmation juste : (0,5 pt) A. Le noyau ³₂He a un nombre de masse égal à 5. B. La radioactivité β⁻ est caractéristique des noyaux très lourds. C. Au bout de t = 2t1/2, le nombre de noyaux désintégrés représente 25 % du nombre initial. D. La masse d'un noyau atomique est égale à la somme des masses de ses nucléons. E. Lors d'une réaction de fission nucléaire, de la masse est convertie en énergie.

1.2. Écrire l'équation de désintégration du noyau de tritium. (0,25 pt)

1.3. Établir la relation entre t1/2 et la constante radioactive λ. (0,25 pt)

1.4. À t₀ = 0, un échantillon de tritium radioactif a une masse m₀ = 2×10⁻⁵ g. Calculer, en Bq, l'activité a1 de l'échantillon à l'instant où 90 % des noyaux de tritium sont désintégrés. (0,5 pt)

2. Réaction de fusion du tritium ³₁H et du deutérium ²₁H

La fusion d'un noyau de deutérium et d'un noyau de tritium conduit à un noyau d'hélium ⁴₂He, avec émission d'un neutron.

2.1. Répondre par vrai ou faux, en justifiant : a. L'énergie qu'il faut fournir à un noyau de tritium au repos pour le dissocier en ses nucléons au repos est de 8,475 MeV. (0,25 pt) b. Le tritium est plus stable que le deutérium. (0,25 pt)

2.2. Calculer, en MeV, l'énergie libérée Eliv par la réaction de fusion d'un noyau de tritium et d'un noyau de deutérium. (0,5 pt)

Physique — Exercice 3 (5 points) : Dipôle RL, circuit LC, modulation d'amplitude

Cet exercice étudie : la réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension ; un circuit oscillant LC ; la modulation d'amplitude d'un signal.

1. Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension

Montage : générateur idéal de fem E = 24 V, conducteur ohmique de résistance R, bobine (b) d'inductance L et de résistance négligeable, interrupteur K. On ferme K à t₀ = 0. Un système d'acquisition donne i(t) ; la droite (T) est la tangente à la courbe en t₀ = 0.

1.1. Établir l'équation différentielle vérifiée par i(t). (0,25 pt)

1.2. On donne i(t) = A + B·e^(−t/τ), avec A, B constantes et τ la constante de temps. 1.2.1. Déterminer A et B en fonction de E et R. (0,5 pt) 1.2.2. Montrer que L = 1 H (d'après le graphe : τ = 2 ms, I₀ = 48 mA). (0,5 pt)

1.3. Déterminer, en unités SI, l'expression numérique de uL(t) lors de l'établissement du courant. (0,5 pt)

2. Circuit oscillant LC

On associe la bobine précédente à un condensateur de capacité C, chargé sous une tension E₀ = 10 V.

2.1. Établir l'équation différentielle vérifiée par uC(t). (0,25 pt)

2.2.1. À l'aide du graphe (T₀ = 2 ms, on prend π² = 10), trouver C. (0,5 pt) 2.2.2. Trouver l'énergie magnétique Em emmagasinée dans la bobine à l'instant t = 1,8 ms (uC(t) = 8 V à cet instant). (0,75 pt)

3. Modulation d'amplitude d'un signal

u(t) = A[1 + m·cos(2πfₛt)]·cos(2πfₚt), avec A constante, m le taux de modulation, fₛ et fₚ les fréquences du signal modulant et de la porteuse.

3.1. Choisir la bonne proposition : A. fₛ = 4 kHz ; B. fₚ = 4 kHz ; C. fₛ = 100 Hz ; D. fₚ = 200 Hz. (0,5 pt)

3.2. Répondre par vrai ou faux, en justifiant : a. Le taux de modulation est m = 0,4. (0,5 pt) b. La composante continue vaut U₀ = 2 V. (0,25 pt)

3.3. Représenter l'allure du spectre de fréquences de u(t) (sans respect d'échelle précise). (0,5 pt)

Physique — Exercice 4 (5,5 points) : Chute d'une balle et mouvement d'une balançoire

Partie I : Chute d'une balle

On lance verticalement vers le haut, à t = 0 depuis O, une balle (S) de masse m et de centre d'inertie G, avec une vitesse initiale V₀ = 12 m·s⁻¹. Repère (O, k⃗) lié à un référentiel terrestre galiléen. Données : m = 80 g ; g = 10 m·s⁻².

1. Mouvement en chute libre : 1.1. En appliquant la 2ᵉ loi de Newton, déterminer vz(t) et z(t). (0,75 pt) 1.2.1. Hauteur maximale h atteinte par G. (0,5 pt) 1.2.2. Valeur algébrique v0z lors du repassage de G par O vers le bas. (0,5 pt)

2. Mouvement de chute avec frottement fluide f⃗ = α·v⃗ (α = 0,12 SI), à partir du passage par O pris comme nouvelle origine t₀ = 0 (on néglige la poussée d'Archimède) : 2.1. Montrer que dvz/dt + (1/τ)vz − g = 0, avec τ le temps caractéristique. (0,5 pt) 2.2. Déduire la norme de la vitesse limite. (0,25 pt) 2.3. Par la méthode d'Euler, déterminer vz(tᵢ), sachant que l'accélération à tᵢ₋₁ est aᵢ₋₁ = 5 m·s⁻² et le pas de calcul Δt = 66 ms. (0,75 pt)

Partie II : Mouvement d'une balançoire

Un enfant oscille sur une balançoire modélisée par un pendule : solide (S) de masse m, suspendu par une tige rigide de masse négligeable et de longueur ℓ, mobile autour d'un axe horizontal (Δ) par O. On écarte le pendule de θ₀ = 9° puis on le lâche sans vitesse initiale à t₀ = 0. On néglige les frottements. Données : J = mℓ² ; g = 10 m·s⁻² ; ℓ = 2,4 m ; pour les petites oscillations : cos θ ≈ 1 − θ²/2 (θ en radian).

1. Montrer que Epp = ½mgℓθ² pour les oscillations de faible amplitude. (0,5 pt)

2. Par conservation de l'énergie mécanique : 2.1. Déterminer la vitesse angulaire maximale θ̇max. (0,5 pt) 2.2. Établir l'équation différentielle du mouvement en θ(t). (0,75 pt)

3. Calculer la période propre T₀ de ce pendule (analogue à un pendule simple de longueur ℓ). (0,5 pt)