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ExamensMathématiques · 3ème année collège (3APIC)
Examen régional2024 · Session normaleCasablanca-SettatGratuit

Examen Régional — Session Normale 2024 — Casablanca-Settat — Mathématiques (3AC)

1Sujet

Examen Régional Unifié — Mathématiques — 3AC (Option Internationale / BIOF)

Académie Régionale d'Éducation et de Formation — Casablanca-Settat — Session 2024 (Normale)

Durée : 2 heures — Le sujet comporte 6 exercices indépendants. L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.

Exercice 1 — Équations et inéquations (≈ 6 points)

  1. Résoudre dans ℝ l'équation : 3x + 2 = x − 1

  2. Résoudre dans ℝ l'inéquation : 4x + 2 ≤ 7x − 1, puis représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.

  3. a) Développer et réduire l'expression : (2x − 1)(x + 1)

    b) En déduire la résolution dans ℝ de l'équation : 2x² + x = 1

Exercice 2 — Mise en équation : système de deux équations (≈ 4 points)

Hamid achète 3 pains et 2 gâteaux et paie 14 DH. Amina achète 2 pains et 8 gâteaux et paie 34 DH.

On note x le prix d'un pain (en DH) et y le prix d'un gâteau (en DH).

  1. Montrer que x et y sont solutions du système : { 3x + 2y = 14 { x + 4y = 17

  2. Résoudre ce système, puis donner le prix d'un pain et le prix d'un gâteau.

Exercice 3 — Fonctions linéaires et affines (≈ 5 points)

Partie 1. Dans un repère orthonormé, (D) est la droite représentative d'une fonction linéaire g. On lit sur le graphique que l'image de 1 par g est 2, et que le nombre dont l'image par g est −2 vaut −1.

  1. Déterminer l'expression de g(x).

Partie 2. f est une fonction affine telle que f(0) = 4 et f(3) = −2.

  1. Montrer que f(x) = −2x + 4.

  2. Calculer f(2).

  3. Résoudre l'équation f(x) = −2.

  4. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

x302
f(x)………

Exercice 4 — Statistiques (≈ 3 points)

Le tableau suivant donne le nombre de buts marqués par chacun des 25 joueurs d'une équipe de football au cours d'une saison :

Nombre de buts012345
Effectif513286

  1. Vérifier que l'effectif total est 25.

  2. Déterminer le mode de cette série statistique.

  3. Calculer la moyenne m de cette série (arrondir si nécessaire).

Exercice 5 — Géométrie analytique (repère orthonormé) (≈ 6 points)

Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(1 ; 6), B(−3 ; −2), C(5 ; −2) et K(1 ; 1), ainsi que la droite (D) d'équation y = −2x + 8.

  1. Vérifier, par le calcul, que les points A et C appartiennent à la droite (D).

  2. Déterminer une équation de la droite (AB).

  3. Calculer la distance KA.

  4. Déterminer les coordonnées du milieu E du segment [AC].

  5. Déterminer une équation de la droite passant par A et perpendiculaire à (D).

Exercice 6 — Géométrie dans l'espace : la pyramide (≈ 4 points)

SABC est une pyramide de sommet S et de base le triangle ABC, rectangle en A, avec AB = 4 cm, AC = 6 cm et SA = 16 cm (SA perpendiculaire au plan de base).

  1. Calculer le volume V₁ de la pyramide SABC.

  2. On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à la base (ABC), ce qui donne une pyramide réduite SEFG telle que l'aire du triangle EFG est 3 cm² (l'aire de ABC étant 12 cm²).

a) Déterminer le rapport de réduction k.

b) En déduire le volume V₂ de la pyramide SEFG.

2Correction

Corrigé — Examen Régional Mathématiques 3AC — Casablanca-Settat 2024 (Session Normale)

Exercice 1

1) 3x + 2 = x − 1 3x − x = −1 − 2 2x = −3 x = −3/2

2) 4x + 2 ≤ 7x − 1 2 + 1 ≤ 7x − 4x 3 ≤ 3x x ≥ 1 Sur la droite graduée : demi-droite fermée débutant en 1, orientée vers +∞.

3) a) (2x − 1)(x + 1) = 2x² + 2x − x − 1 = 2x² + x − 1

b) 2x² + x = 1 ⟺ 2x² + x − 1 = 0 ⟺ (2x − 1)(x + 1) = 0 (d'après 3a) Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : 2x − 1 = 0 ⟹ x = 1/2, ou x + 1 = 0 ⟹ x = −1 S = {−1 ; 1/2}

Exercice 2

1) Traduction du problème :

  • Hamid : 3x + 2y = 14
  • Amina : 2x + 8y = 34, soit, en divisant par 2 : x + 4y = 17 D'où le système { 3x + 2y = 14 ; x + 4y = 17 }

2) De la 2ᵉ équation : x = 17 − 4y On remplace dans la 1ʳᵉ : 3(17 − 4y) + 2y = 14 51 − 12y + 2y = 14 51 − 10y = 14 −10y = −37 y = 3,7 x = 17 − 4 × 3,7 = 17 − 14,8 = 2,2

Le prix d'un pain est 2,2 DH et le prix d'un gâteau est 3,7 DH. Vérification : 3(2,2) + 2(3,7) = 6,6 + 7,4 = 14 ✓ ; 2(2,2) + 8(3,7) = 4,4 + 29,6 = 34 ✓

Exercice 3

Partie 1. g est linéaire : g(x) = a·x. g(1) = 2 ⟹ a × 1 = 2 ⟹ a = 2. g(x) = 2x Vérification avec le second point lu : g(−1) = 2×(−1) = −2, ce qui correspond bien à « le nombre dont l'image est −2 vaut −1 ». ✓

Partie 2. f est affine : f(x) = a·x + b. f(0) = 4 ⟹ b = 4. f(3) = −2 ⟹ 3a + 4 = −2 ⟹ 3a = −6 ⟹ a = −2. 1) Donc f(x) = −2x + 4 ✓ (conforme à l'énoncé)

2) f(2) = −2(2) + 4 = −4 + 4 = 0

3) f(x) = −2 ⟺ −2x + 4 = −2 ⟺ −2x = −6 ⟺ x = 3 (cohérent avec la donnée f(3) = −2)

4) Tableau complété :

x302
f(x)−240

Exercice 4

1) Somme des effectifs : 5 + 1 + 3 + 2 + 8 + 6 = 25 ✓ (conforme à l'énoncé)

2) L'effectif le plus grand est 8, atteint pour la valeur 4. Mode = 4 buts

3) Moyenne : m = (0×5 + 1×1 + 2×3 + 3×2 + 4×8 + 5×6) / 25 m = (0 + 1 + 6 + 6 + 32 + 30) / 25 m = 75 / 25 m = 3 buts (en moyenne, par joueur)

Exercice 5

1) Sur (D) : y = −2x + 8. Pour A(1 ; 6) : −2(1) + 8 = 6 = y_A ⟹ A ∈ (D) ✓ Pour C(5 ; −2) : −2(5) + 8 = −2 = y_C ⟹ C ∈ (D) ✓

2) Coefficient directeur de (AB) : a = (y_B − y_A)/(x_B − x_A) = (−2 − 6)/(−3 − 1) = (−8)/(−4) = 2 Équation : y − y_A = a(x − x_A) ⟹ y − 6 = 2(x − 1) ⟹ y = 2x − 2 + 6 (AB) : y = 2x + 4 Vérification avec B(−3 ; −2) : 2(−3) + 4 = −2 = y_B ✓

3) KA = √[(x_A − x_K)² + (y_A − y_K)²] = √[(1 − 1)² + (6 − 1)²] = √[0 + 25] = √25 KA = 5

4) Milieu E de [AC] : E( (x_A + x_C)/2 ; (y_A + y_C)/2 ) = E( (1+5)/2 ; (6−2)/2 ) E(3 ; 2)

5) (D) a pour coefficient directeur −2. La droite perpendiculaire à (D) a pour coefficient directeur a' tel que a × a' = −1, donc a' = 1/2. Équation de la droite passant par A(1 ; 6) et de coefficient directeur 1/2 : y − 6 = (1/2)(x − 1) ⟹ y = (1/2)x − 1/2 + 6 y = (1/2)x + 11/2

Exercice 6

1) Le triangle ABC est rectangle en A, donc son aire est : Aire(ABC) = (AB × AC)/2 = (4 × 6)/2 = 24/2 = 12 cm² Volume de la pyramide SABC (base ABC, hauteur SA, SA ⊥ plan de base) : V₁ = (1/3) × Aire(ABC) × SA = (1/3) × 12 × 16 V₁ = 64 cm³

2) a) Le rapport des aires d'une réduction est le carré du rapport de réduction : Aire(EFG)/Aire(ABC) = k² ⟹ 3/12 = k² ⟹ k² = 1/4 k = 1/2

b) Le rapport des volumes d'une réduction est le cube du rapport de réduction : V₂/V₁ = k³ = (1/2)³ = 1/8 V₂ = V₁ × 1/8 = 64 × 1/8 V₂ = 8 cm³