Examen Régional — Session Normale 2024 — Marrakech-Safi — Mathématiques (3AC)

Examen Régional Unifié — Mathématiques — 3AC (Option Internationale / BIOF)

Académie Régionale d'Éducation et de Formation — Marrakech-Safi — Session 2024 (Normale)

Durée : 2 heures — Le sujet comporte 5 exercices indépendants. L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.

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Exercice 1 — Équations, inéquations, système (≈ 7 points)

1. Résoudre dans ℝ l'équation : 3(x − 1) − 4 = 1 + x

2. Résoudre dans ℝ l'équation produit-nul : (x + 1)(4 − 2x) = 0

3. Résoudre dans ℝ l'inéquation : 3x − 8 > 2 + x

4. Résoudre le système : { x + y = 14 ; 2x + 5y = 46 }

5. Un commerçant dispose de 14 billets, tous de 20 DH ou de 50 DH, pour un total de 460 DH. En notant x le nombre de billets de 20 DH et y le nombre de billets de 50 DH, écrire un système traduisant la situation, puis déterminer x et y.

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Exercice 2 — Fonctions linéaires et affines (≈ 4 points)

Partie 1. f est une fonction linéaire telle que f(2) = 3.

a) Déterminer l'expression de f(x).

b) Déterminer l'antécédent de −3 par f.

Partie 2. g est la fonction affine définie par g(x) = 3x − 1.

a) Calculer g(0) et g(2).

b) Déterminer l'antécédent de 0 par g.

c) Calculer g(3) − g(2). Que représente ce nombre pour la fonction g ?

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Exercice 3 — Statistiques (≈ 3 points)

On donne le tableau statistique suivant (série à caractère quantitatif), incomplet, où a désigne un effectif inconnu, sachant que l'effectif total est 20 :

Valeurs	55	65	70	75	90
Effectifs	5	3	a	6	3

1. Déterminer la valeur de a.

2. Construire le tableau des effectifs cumulés croissants.

3. Déterminer le mode de cette série.

4. Calculer la moyenne m de cette série.

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Exercice 4 — Géométrie analytique (repère orthonormé) (≈ 6 points)

Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(1 ; 3), B(−1 ; −1), C(1 ; −2), D(3 ; 2) et M(−3 ; −5), ainsi que la droite (Δ) : y = 2x + 1.

1. Placer les points A, B, C, D et M dans le repère.

2. Vérifier que A ∈ (Δ) et B ∈ (Δ).

3. a) Calculer la distance DC.

b) Montrer que le vecteur AB est égal au vecteur DC.

4. a) Déterminer une équation de la droite (AD).

b) Montrer que (AD) est perpendiculaire à (Δ).

5. Montrer que le quadrilatère BMCD est un parallélogramme.

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Exercice 5 — Géométrie dans l'espace : la pyramide (≈ 4 points)

SABCD est une pyramide de sommet S dont la base ABCD est un carré de côté AB = 3 cm, et de hauteur SA = 9 cm (SA perpendiculaire au plan de base).

1. Calculer le volume V de la pyramide SABCD.

2. On coupe SABCD par un plan parallèle à la base passant par un point E de [SA] tel que SE = 6 cm, ce qui donne une pyramide réduite SEFGH.

a) Déterminer le rapport de réduction k = SE/SA.

b) Calculer l'aire de EFGH.

c) Calculer le volume V' de la pyramide SEFGH.