Examen National — Session Normale 2022 — Sciences Mathématiques (BIOF)

Exercice 1 : Étude d'une fonction — Analyse (10 pts)

Partie A

1. Montrer que pour tout réel x ≥ 0 :

0 ≤ 1 − x + x² − 1/(1+x) ≤ x³

2. En déduire que pour tout réel x ≥ 0 :

0 ≤ x − x²/2 + x³/3 − ln(1+x) ≤ x⁴/4

Partie B

Soit f la fonction numérique définie sur [0, +∞[ par :

f(0) = 1/2 et, pour tout x > 0 : f(x) = [x − ln(1+x)] / x²

Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗).

1. a) Montrer que f est continue à droite en 0. b) Montrer, à l'aide de la Partie A, que f est dérivable à droite en 0 et que f'_d(0) = −1/3. c) Calculer lim(x→+∞) f(x) et interpréter graphiquement le résultat.

2. a) Montrer que pour tout x ∈ ]0, +∞[ : f'(x) = −g(x)/x³, où g(x) = x + x/(1+x) − 2ln(1+x) b) Montrer que pour tout x > 0 : g'(x) = x²/(1+x)², puis que 0 ≤ g'(x) ≤ x². c) En déduire, sachant g(0) = 0, que 0 ≤ g(x) ≤ x³/3 pour tout x ≥ 0. d) En déduire le signe de f'(x) sur ]0, +∞[, puis dresser le tableau de variations de f sur [0, +∞[.

3. Construire (C) (on tracera la demi-tangente en O, de coefficient directeur −1/3).

Exercice 2 : Nombres complexes et transformation du plan (3,5 pts)

On pose j = e^(i2π/3).

I.

1. Vérifier que j³ = 1 et que 1 + j + j² = 0.

2. Soit m ∈ ℂ*. On considère l'équation d'inconnue complexe z :

   (E_m) : z² + m j² z + m² j = 0

   a) Montrer que le discriminant de (E_m) est Δ = [m(1−j)]². b) En déduire que les solutions de (E_m) sont z₁ = m et z₂ = mj.

3. On pose m = 1 + i. a) Écrire m sous forme exponentielle. b) Montrer que (z₁ + z₂)^2022 est un imaginaire pur.

II. Soit φ la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe M' d'affixe z' = (1+j) z.

1. Montrer que φ est la rotation de centre O et d'angle π/3.
2. Soit A, B, C les points d'affixes respectives a = m, b = mj, c = mj² (m ∈ ℂ*). a) Déterminer les affixes a', b', c' de A' = φ(A), B' = φ(B), C' = φ(C). b) Soit P, Q, R les milieux respectifs de [BA'], [CB'], [AC'], d'affixes p, q, r. Montrer que p + qj + rj² = 0. c) En déduire que le triangle PQR est équilatéral.

Exercice 3 : Arithmétique (3 pts)

Soit n un entier naturel tel que n > 1, et p le plus petit diviseur premier de n. On considère, dans ℕ × ℕ*, l'équation :

(E_n) : (x+1)ⁿ − xⁿ = p^y

1. Soit (x, y) une solution de (E_n) dans ℕ × ℕ*. a) Montrer que (x+1)ⁿ ≡ xⁿ (mod p). b) Montrer que p est premier avec x et avec x+1. c) En déduire, à l'aide du petit théorème de Fermat, que (x+1)^(p−1) ≡ x^(p−1) (mod p).
2. Montrer que si n est pair, (E_n) n'admet pas de solution dans ℕ × ℕ*.
3. On suppose n impair. a) Montrer que pgcd(n, p−1) = 1, puis justifier l'existence de (u,v) ∈ ℤ² tels que nu + (p−1)v = 1. b) En utilisant 1)a) et 1)c), montrer que x + 1 ≡ x (mod p). c) Conclure.

Exercice 4 : Structures algébriques (3,5 pts)

On considère l'ensemble de matrices :

E = { M(a,b) = [[a, 3b], [b, a]] : (a,b) ∈ ℚ² } ⊂ M₂(ℝ)

muni des lois usuelles + et × de M₂(ℝ).

1. a) Montrer que E est un sous-groupe de (M₂(ℝ), +). b) Vérifier que pour tous (a,b), (c,d) ∈ ℚ² : M(a,b) × M(c,d) = M(ac+3bd, ad+bc). c) En déduire que (E, +, ×) est un anneau commutatif et unitaire.

2. Soit φ : E → ℝ définie par φ(M(a,b)) = |a² − 3b²|. Montrer que pour tous X, Y ∈ E : φ(X×Y) = φ(X)·φ(Y).

3. a) Vérifier que M(a,b) × M(a,−b) = (a² − 3b²)·I, où I est la matrice unité. b) Montrer que si a² − 3b² ≠ 0, alors M(a,b) est inversible dans (E,×) et déterminer son inverse.

4. a) Montrer que pour tout (a,b) ∈ ℚ² : a² − 3b² = 0 ⟺ (a,b) = (0,0). b) En déduire que (E, +, ×) est un corps commutatif.