Devoir surveillé n°2 — Semestre 2 (PC / SM)

Chimie (7 points) — L'arôme d'ananas

L'arôme d'ananas est dû au butanoate d'éthyle (M = 116 g/mol). On le synthétise en chauffant à reflux 0,20 mol d'acide butanoïque et 0,20 mol d'éthanol, avec quelques gouttes d'acide sulfurique. La constante d'équilibre vaut K = 4.

Écrire l'équation de la réaction avec des formules semi-développées. Nommer cette réaction. (1,5 pt)
Citer ses trois caractéristiques. (1 pt)
Montrer qu'à l'équilibre, x_éq = 0,133 mol. En déduire le rendement. (1,5 pt)
Calculer la masse d'ester obtenue. (1 pt)
On recommence avec 0,40 mol d'éthanol (même quantité d'acide). Calculer le nouveau rendement. (1,5 pt)
Quel est le rôle de l'acide sulfurique ? (0,5 pt)

Physique — Exercice 1 (6 points) — Io, satellite de Jupiter

Io tourne autour de Jupiter sur une orbite pratiquement circulaire, de rayon r = 4,22×10⁸ m, avec une période T = 1,77 jour. Donnée : G = 6,67×10⁻¹¹ SI.

En appliquant la deuxième loi de Newton dans un référentiel « jupitérocentrique », montrer que le mouvement de Io est uniforme. (1 pt)
Établir l'expression T²/r³ = 4π²/(G·M_J). (2 pts)
En déduire la masse de Jupiter. (2 pts)
Calculer la vitesse de Io sur son orbite. (1 pt)

Physique — Exercice 2 (7 points) — Un lancer franc au basket

Un joueur lance le ballon depuis une hauteur h₀ = 2,0 m, avec une vitesse v₀ qui fait un angle α = 50° avec l'horizontale. Le centre du panier est à 3,05 m de hauteur, et à une distance horizontale de 4,0 m du point de lancement. On néglige les frottements, et on prend g = 9,8 m/s².

Établir les équations horaires x(t) et y(t), avec l'origine au sol à la verticale du point de lancement. (2 pts)
En déduire l'équation de la trajectoire. (1 pt)
Pour v₀ = 8,0 m/s, le ballon passe-t-il par le centre du panier ? Justifier. (1,5 pt)
Calculer la valeur de v₀ qui permet de marquer. (1,5 pt)
Avec cette vitesse, calculer la durée du trajet jusqu'au panier. (1 pt)

Afficher la correction et le barème

Chimie (7 pts)

1. CH₃CH₂CH₂COOH + CH₃CH₂OH ⇌ CH₃CH₂CH₂COOCH₂CH₃ + H₂O. C'est une estérification. (1,5)
2. Elle est lente, limitée et athermique. (1)
3. K = x²/(0,20 − x)² = 4, donc x/(0,20 − x) = 2 et x = 0,133 mol. Rendement : 67 %. (1,5)
4. m = 0,133 × 116 ≈ 15,5 g. (1)
5. x²/((0,20 − x)(0,40 − x)) = 4, donc 3x² − 2,4x + 0,32 = 0 et x = (2,4 − √1,92)/6 ≈ 0,169 mol. Rendement : ≈ 85 %. (1,5)
6. C'est un catalyseur : il accélère la réaction, mais ne modifie pas le rendement. (0,5)

Physique — Exercice 1 (6 pts)

1. La seule force est l'attraction de Jupiter, qui est centripète : l'accélération est normale, donc dv/dt = 0 et le mouvement est uniforme. (1)
2. G·M_J/r² = v²/r, donc v = √(G·M_J/r). Avec T = 2πr/v, on obtient T²/r³ = 4π²/(G·M_J). (2)
3. T = 1,77 × 86 400 ≈ 1,53×10⁵ s. M_J = 4π²·r³/(G·T²) ≈ 39,5 × 7,52×10²⁵ / (6,67×10⁻¹¹ × 2,34×10¹⁰) ≈ 1,9×10²⁷ kg. (2)
4. v = 2πr/T ≈ 1,73×10⁴ m/s. (1)

Physique — Exercice 2 (7 pts)

1. x = v₀·cos α·t ; y = −½·g·t² + v₀·sin α·t + h₀. (2)
2. y = −g·x²/(2v₀²cos²α) + x·tan α + h₀. (1)
3. Pour x = 4,0 m : y = −9,8 × 16/(2 × 64 × 0,413) + 4,0 × 1,19 + 2,0 ≈ −2,97 + 4,77 + 2,0 ≈ 3,80 m > 3,05 m : le ballon passe au-dessus du centre du panier. (1,5)
4. On écrit y(4,0) = 3,05 : 156,8/(0,826·v₀²) = 3,72, donc v₀² ≈ 51 et v₀ ≈ 7,1 m/s. (1,5)
5. t = x/(v₀·cos α) = 4,0/(7,14 × 0,643) ≈ 0,87 s. (1)