Mathématiques · Tronc Commun
Calcul vectoriel dans le plan
1Rappels du cours
Notion de vecteur
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur (norme). Le vecteur AB⃗, associé à deux points A et B, a pour origine A et pour extrémité B.
Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs AB⃗ et CD⃗ sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati), c'est-à-dire s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Somme de deux vecteurs
La somme de deux vecteurs u⃗ et v⃗ se construit par la relation de Chasles :
AB⃗ + BC⃗ = AC⃗
On peut aussi utiliser la règle du parallélogramme pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs.
Coordonnées d'un vecteur
Dans un repère (O ; i⃗, j⃗), si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors le vecteur AB⃗ a pour coordonnées :
AB⃗ (x_B − x_A ; y_B − y_A)
La translation
Une translation de vecteur u⃗ est une transformation du plan qui, à tout point M, associe le point M' tel que MM'⃗ = u⃗. La translation conserve les longueurs, les angles, le parallélisme et transforme un segment en un segment de même longueur, une droite en une droite parallèle.
Milieu d'un segment (coordonnées)
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :
x_I = (x_A + x_B)/2 et y_I = (y_A + y_B)/2
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. Dans un repère, si A(1 ; 2) et B(4 ; 6), les coordonnées du vecteur AB⃗ sont :
2. Parmi les propriétés suivantes de la translation, lesquelles sont correctes ?
3. La relation de Chasles s'écrit :
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen national — adaptéDans un repère orthonormé (O ; i⃗, j⃗), on donne les points A(−1 ; 2), B(3 ; 5) et C(2 ; −1).
- Calculer les coordonnées du vecteur AB⃗.
- Déterminer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme (c'est-à-dire tel que AB⃗ = CD⃗).
- Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AC].
- Soit t la translation de vecteur AB⃗. Déterminer les coordonnées de l'image C' du point C par cette translation.