Mathématiques · Tronc Commun

La projection dans le plan

1Rappels du cours

Introduction

La projection parallele permet de transporter des proportions d'une droite a une autre. Le theoreme de Thales, l'un des resultats les plus utilises de la geometrie du college et du tronc commun, formalise cette idee et permet de calculer des longueurs inaccessibles par la mesure directe.

1. La projection parallele sur une droite

Soient deux droites secantes (d) et (d'), et une direction donnee (une troisieme droite, ou un ensemble de droites paralleles entre elles). La projection parallele sur (d') dans la direction donnee associe a tout point M de (d) le point M' de (d'), intersection de (d') avec la droite passant par M et parallele a la direction donnee.

Cette projection conserve les rapports de longueurs : si A, B, C sont des points alignes sur (d), et A', B', C' leurs projetes sur (d') dans la meme direction, alors le rapport AB/AC est egal au rapport A'B'/A'C'.

2. Le theoreme de Thales (configuration triangulaire)

Soit un triangle ABC. Soient M un point du segment [AB] et N un point du segment [AC], tels que la droite (MN) soit parallele a la droite (BC). Alors :

AM / AB = AN / AC = MN / BC

Ce resultat, appele theoreme de Thales, permet de calculer une longueur inconnue des lors que l'on connait les trois autres longueurs des rapports concernes, a condition de bien identifier la configuration (triangle avec une parallele a l'un des cotes).

Exemple resolu

Dans un triangle ABC, M appartient a [AB] avec AM = 3 cm et AB = 5 cm ; N appartient a [AC] avec AN = 4,5 cm ; la droite (MN) est parallele a (BC), et BC = 7 cm. Calculer AC et MN.

D'apres le theoreme de Thales : AM/AB = AN/AC = MN/BC, soit 3/5 = 4,5/AC = MN/7.

De 3/5 = 4,5/AC, on tire AC = (4,5 x 5) / 3 = 22,5 / 3 = 7,5 cm.

De 3/5 = MN/7, on tire MN = (3 x 7) / 5 = 21/5 = 4,2 cm.

3. La reciproque du theoreme de Thales

Si, dans la configuration precedente (M sur [AB], N sur [AC]), on a l'egalite des rapports AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont paralleles. Cette reciproque permet de demontrer un parallelisme a partir de longueurs mesurees ou calculees, sans avoir besoin d'un rapporteur ou d'une equerre.

4. Applications pratiques

Le theoreme de Thales est utilise pour calculer des longueurs difficiles a mesurer directement : hauteur d'un arbre ou d'un batiment (a l'aide de son ombre et d'un objet de reference), largeur d'une riviere, distances inaccessibles en general, en construisant une configuration de triangles avec une parallele appropriee.

Schema-bilan

Triangle ABC avec (MN) parallele a (BC) -> theoreme de Thales : AM/AB = AN/AC = MN/BC (calcul de longueurs) ; egalite des rapports AM/AB = AN/AC -> reciproque de Thales : (MN) parallele a (BC) (demonstration de parallelisme).

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Dans un triangle ABC, avec M sur [AB], N sur [AC], et (MN) parallele a (BC), le theoreme de Thales donne la relation :

2. La reciproque du theoreme de Thales permet de demontrer :

3. Avec AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4,5 cm et (MN) parallele a (BC), la longueur AC vaut :

4Entraînement

Mesure de la hauteur d'un arbre par la methode des ombres (theoreme de Thales)

Exercice type controle, Tronc Commun

Pour mesurer la hauteur d'un arbre sans instrument special, on plante verticalement un baton de hauteur 1,5 m, dont le pied est aligne avec le pied de l'arbre et le soleil. L'ombre du baton mesure 1,2 m, et l'ombre de l'arbre (mesuree depuis son pied) mesure 9,6 m, au meme instant.

Expliquer pourquoi cette situation correspond a une configuration du theoreme de Thales (on precisera le role des rayons du soleil, supposes paralleles).
Ecrire la relation de proportionnalite entre les hauteurs du baton et de l'arbre, et les longueurs de leurs ombres respectives.
Calculer la hauteur de l'arbre.
Le lendemain, a une heure differente, l'ombre du meme baton (toujours 1,5 m de haut) mesure desormais 0,75 m. Sans mesurer directement l'arbre, calculer la longueur de son ombre a ce nouvel instant, sachant que le rapport hauteur/ombre reste le meme pour tous les objets verticaux a un instant donne.