Le produit scalaire

Introduction

Le produit scalaire est un outil qui associe a deux vecteurs un nombre reel. Il permet de calculer des longueurs, des angles et d'etudier l'orthogonalite de deux vecteurs, de maniere purement calculatoire.

1. Definition du produit scalaire

Soit u et v deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de u et v, note u . v, est le nombre reel defini par :

u . v = ||u|| x ||v|| x cos(angle entre u et v)

ou ||u|| et ||v|| designent les normes (longueurs) des vecteurs u et v.

2. Produit scalaire et orthogonalite

Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

u . v = 0 equivaut a u et v sont orthogonaux

Cette propriete permet de demontrer la perpendicularite de deux droites par le calcul, sans mesure d'angle.

3. Expression du produit scalaire en coordonnees

Dans un repere orthonorme, si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors le produit scalaire de u et v se calcule par la formule :

u . v = x fois x' + y fois y'

Cette formule est tres pratique car elle ne necessite ni angle, ni norme.

4. Proprietes du produit scalaire

Le produit scalaire possede des proprietes utiles :

• il est symetrique : u . v = v . u ;
• il est bilineaire : u . (v + w) = u . v + u . w ;
• le produit scalaire d'un vecteur par lui-meme donne le carre de sa norme : u . u = ||u||^2.

5. Exemple d'application

Le produit scalaire permet, par exemple, de verifier si un triangle est rectangle en un sommet : il suffit de calculer le produit scalaire des deux vecteurs formant cet angle et de verifier s'il est nul.

Schema-bilan

Produit scalaire u . v = ||u|| x ||v|| x cos(angle) -> en coordonnees (repere orthonorme) : u . v = x fois x' + y fois y' -> u . v = 0 equivaut a u et v orthogonaux -> u . u = ||u||^2.