L'ordre dans ℝ

Introduction

Comparer des nombres reels, encadrer une valeur, ou mesurer un ecart entre deux nombres sont des besoins frequents en mathematiques. Ce chapitre reprend les regles de l'ordre dans R et introduit la notion de valeur absolue.

1. La relation d'ordre dans R

Pour deux nombres reels a et b, on peut toujours comparer a et b : soit a < b, soit a = b, soit a > b. Cette propriete s'appelle la relation d'ordre total sur R.

Regles de compatibilite de l'ordre avec les operations

• Avec l'addition : pour tous reels a, b, c : si a < b, alors a + c < b + c (l'ordre est conserve par addition d'un meme nombre aux deux membres).
• Avec la multiplication par un nombre positif : si a < b et c > 0, alors a x c < b x c (l'ordre est conserve).
• Avec la multiplication par un nombre negatif : si a < b et c < 0, alors a x c > b x c (l'ordre est inverse).

Cette derniere regle est essentielle : elle explique pourquoi, en resolvant une inequation, il faut inverser le sens de l'inegalite lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre negatif.

2. Les intervalles de R

Un intervalle est un sous-ensemble de R forme de tous les reels compris entre deux bornes (ou au-dela d'une borne). On distingue :

• Les intervalles bornes : [a ; b] (bornes incluses), ]a ; b[ (bornes exclues), [a ; b[ et ]a ; b] (un cote inclus, l'autre exclu).
• Les intervalles non bornes : [a ; plus l'infini[, ]moins l'infini ; a], etc.

La notation avec crochet tourne vers l'exterieur ( ] ou [ selon le sens) indique qu'une borne est exclue de l'intervalle.

3. La valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre reel x, notee |x|, est definie par :

|x| = x si x est superieur ou egal a 0, et |x| = -x si x est strictement negatif.

Autrement dit, la valeur absolue d'un nombre est toujours positive ou nulle ; elle correspond a la distance entre x et 0 sur la droite graduee.

Proprietes de la valeur absolue

• |x| est superieur ou egal a 0 pour tout reel x, et |x| = 0 si et seulement si x = 0.
• |-x| = |x| (la valeur absolue d'un nombre et de son oppose sont egales).
• Pour tout reel positif r : |x| <= r equivaut a -r <= x <= r (soit x appartient a l'intervalle [-r ; r]).
• Pour tout reel positif r : |x| >= r equivaut a x <= -r ou x >= r.
• Plus generalement, |a - b| represente la distance entre les nombres a et b sur la droite graduee.

4. Resolution d'inequations avec valeur absolue

Exemple resolu

Resoudre |x - 3| <= 2.

D'apres la propriete rappelee ci-dessus, cette inequation equivaut a : -2 <= x - 3 <= 2, soit, en ajoutant 3 a chaque membre : 1 <= x <= 5. L'ensemble des solutions est l'intervalle [1 ; 5].

Exemple resolu

Resoudre |2x + 1| > 5.

Cette inequation equivaut a : 2x + 1 < -5 ou 2x + 1 > 5.

Premier cas : 2x < -6, donc x < -3. Second cas : 2x > 4, donc x > 2.

L'ensemble des solutions est la reunion des intervalles ]moins l'infini ; -3[ et ]2 ; plus l'infini[.

Schema-bilan

Comparaison de reels -> regles de l'ordre (attention a l'inversion lors d'une multiplication par un negatif) -> intervalles -> valeur absolue |x| (distance a 0) -> resolution d'inequations du type |x - a| <= r ou |x - a| >= r par encadrement ou disjonction de cas.