1Rappels du cours

Introduction

La homothetie est une transformation geometrique qui agrandit ou reduit une figure a partir d'un point fixe, appele centre, selon un rapport donne. Contrairement a la rotation, la homothetie ne conserve pas toujours les longueurs, mais elle conserve les proportions et les angles.

1. Definition de la homothetie

Une homothetie de centre O et de rapport k (un nombre reel non nul) associe a tout point M du plan un point M' tel que :

le vecteur OM' est egal a k fois le vecteur OM ;
les points O, M et M' sont alignes.

Si k est positif, M' est du meme cote que M par rapport a O. Si k est negatif, M' est du cote oppose.

2. Cas particuliers de rapport

Si k = 1, l'homothetie est l'identite : chaque point est sa propre image.
Si k = -1, l'homothetie est la symetrie centrale de centre O.
Si |k| > 1, la figure image est agrandie par rapport a la figure de depart.
Si 0 < |k| < 1, la figure image est reduite par rapport a la figure de depart.

3. Proprietes de la homothetie

Une homothetie de rapport k :

multiplie les longueurs par |k| : si M'N' est l'image de MN, alors M'N' = |k| x MN ;
conserve les angles : les angles de la figure image ont la meme mesure que ceux de la figure de depart ;
transforme une droite en une droite parallele ;
multiplie les aires par k au carre (k^2).

On dit que la homothetie est une transformation qui conserve les proportions, mais ce n'est pas une isometrie (sauf si |k| = 1).

4. Construction de l'image d'un point par une homothetie

Pour construire l'image M' d'un point M par une homothetie de centre O et de rapport k, on procede ainsi :

Tracer la demi-droite [OM) si k est positif, ou la demi-droite opposee si k est negatif.
Placer M' sur cette demi-droite a une distance de O egale a |k| x OM.

5. Exemple d'application

Les plans a l'echelle, les cartes geographiques et les photocopies agrandies ou reduites sont des applications concretes de la homothetie : chaque distance reelle est multipliee par un rapport constant (l'echelle) pour obtenir la distance sur le plan.

Schema-bilan

Homothetie de centre O et de rapport k -> chaque point M a pour image M' tel que OM' = k x OM et O, M, M' alignes -> multiplie les longueurs par |k| et les aires par k^2, conserve les angles ; cas particuliers : k = 1 (identite), k = -1 (symetrie centrale).

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Une homothetie de centre O et de rapport k = -1 correspond a :

2. Si une homothetie a un rapport k tel que |k| > 1, alors la figure image est :

3. Une homothetie de rapport k multiplie les aires des figures par :

4Entraînement

Calcul d'image par une homothetie

Exercice type controle, Tronc Commun

Soit O un point du plan et h l'homothetie de centre O et de rapport k = 3. Soit A un point tel que OA = 2 cm, et B l'image de A par h.

Calculer la longueur OB.
Les points O, A et B sont-ils alignes ? Justifier.
Un segment [AC] mesure 5 cm. Quelle est la longueur du segment image [A'C'] par l'homothetie h ?
Un triangle ABC a une aire de 4 cm^2. Quelle est l'aire du triangle image par l'homothetie h ?

Transformations du plan