Équations, inéquations et systèmes

Équation du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue x est de la forme ax + b = 0, avec a ≠ 0. Sa résolution consiste à isoler x :

ax + b = 0 ⟺ ax = −b ⟺ x = −b/a

Cette équation admet donc toujours une unique solution lorsque a ≠ 0.

Règles de résolution

Pour résoudre une équation, on peut :

• ajouter (ou soustraire) le même nombre aux deux membres de l'égalité, sans changer les solutions ;
• multiplier (ou diviser) les deux membres par un même nombre non nul, sans changer les solutions.

Inéquation du premier degré

Une inéquation du premier degré est de la forme ax + b > 0 (ou <, ≤, ≥). Sa résolution suit les mêmes règles que pour une équation, à une exception près :

lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

Exemple : −2x + 6 > 0 ⟺ −2x > −6 ⟺ x < 3 (le sens s'inverse car on a divisé par −2).

Représentation de l'ensemble des solutions

L'ensemble des solutions d'une inéquation du premier degré est toujours un intervalle de ℝ (ex. ]−∞ ; 3[, [2 ; +∞[), que l'on peut représenter sur une droite graduée.

Systèmes de deux équations à deux inconnues

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y peut se résoudre par substitution (exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans la seconde) ou par combinaison linéaire (additionner ou soustraire des multiples des deux équations pour éliminer une inconnue).