1Rappels du cours

Les ensembles de nombres

On distingue plusieurs ensembles de nombres, emboîtés les uns dans les autres :

ℕ : entiers naturels (0, 1, 2, 3, …)
ℤ : entiers relatifs (…, −2, −1, 0, 1, 2, …)
𝔻 : nombres décimaux (nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule)
ℚ : nombres rationnels (quotients de deux entiers, ex. 2/3)
ℝ : nombres réels (tous les précédents, plus les irrationnels comme √2 ou π)

On a l'inclusion : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Valeur absolue

Pour un réel x, la valeur absolue |x| est définie par :

|x| = x si x ≥ 0, et |x| = −x si x < 0.

Elle représente la distance entre x et 0 sur la droite numérique. Propriété : |a − b| représente la distance entre a et b.

Intervalles de ℝ

Un intervalle est une partie de ℝ délimitée par des bornes :

[a ; b] : intervalle fermé (a et b inclus)
]a ; b[ : intervalle ouvert (a et b exclus)
[a ; b[ et ]a ; b] : intervalles semi-ouverts
]−∞ ; a] , [a ; +∞[ : intervalles non bornés

Opérations sur les ensembles

Pour deux parties A et B de ℝ :

Intersection A∩B : éléments appartenant à la fois à A et à B.
Réunion A∪B : éléments appartenant à A ou à B (ou les deux).
Complémentaire de A dans ℝ : éléments de ℝ n'appartenant pas à A, noté ℝ\A ou A̅.

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Le nombre √2 appartient à :

2. Parmi les affirmations suivantes sur les ensembles de nombres, lesquelles sont correctes ?

3. L'intervalle ]−∞ ; 3] représente :

4Entraînement

Exercice type — Examen national

Examen national — adapté

On considère les nombres suivants : a = 5/2, b = √3, c = −4, d = 0,75.

Pour chacun de ces nombres, indiquer le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ auquel il appartient.
Calculer |a − c| et interpréter le résultat en termes de distance.
Soit A = [−3 ; 4] et B = ]0 ; 7[. Déterminer A∩B et A∪B.
Le nombre c appartient-il à A∩B ? Justifier.

Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ

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