La droite dans le plan

Introduction

Dans un repere du plan, toute droite peut etre caracterisee par une equation qui relie les coordonnees x et y de ses points. Ce chapitre presente les differentes formes d'equation d'une droite ainsi que les notions de coefficient directeur et de positions relatives de deux droites.

1. Coefficient directeur d'une droite

Soit une droite (D) non parallele a l'axe des ordonnees, passant par deux points distincts A(xA ; yA) et B(xB ; yB) avec xA different de xB. Le coefficient directeur (ou pente) de (D) est le nombre :

a = (yB - yA) / (xB - xA)

Ce nombre est le meme quels que soient les deux points distincts choisis sur la droite : il caracterise l'inclinaison de la droite.

• Si a > 0, la droite est croissante (elle monte de gauche a droite).
• Si a < 0, la droite est decroissante.
• Si a = 0, la droite est horizontale, parallele a l'axe des abscisses.

2. Equation reduite d'une droite

Toute droite non parallele a l'axe des ordonnees admet une equation reduite unique de la forme :

y = a x + b

ou a est le coefficient directeur et b l'ordonnee a l'origine, c'est-a-dire l'ordonnee du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnees (point de coordonnees (0 ; b)).

Une droite parallele a l'axe des ordonnees (droite verticale) n'a pas d'equation reduite de ce type ; son equation s'ecrit x = k, ou k est une constante.

3. Equation cartesienne d'une droite

Toute droite du plan, y compris les droites verticales, admet une equation dite cartesienne de la forme :

A x + B y + C = 0

ou A et B ne sont pas simultanement nuls. Lorsque B est different de 0, on peut retrouver l'equation reduite en isolant y :

y = (-A / B) x + (-C / B)

Le coefficient directeur est alors a = -A / B.

Exemple resolu

Determiner l'equation reduite de la droite d'equation cartesienne 2x - 3y + 6 = 0.

On isole y : -3y = -2x - 6, donc y = (2/3) x + 2. Le coefficient directeur est 2/3 et l'ordonnee a l'origine est 2.

4. Determiner l'equation d'une droite

A partir de deux points

On calcule d'abord le coefficient directeur a avec la formule du paragraphe 1, puis on utilise les coordonnees d'un des deux points pour trouver b dans y = ax + b.

A partir d'un point et du coefficient directeur

Si une droite passe par un point A(xA ; yA) et a pour coefficient directeur a, son equation reduite est :

y = a (x - xA) + yA

5. Positions relatives de deux droites

Soient deux droites (D1) : y = a1 x + b1 et (D2) : y = a2 x + b2.

• (D1) et (D2) sont paralleles si et seulement si a1 = a2. Elles sont confondues si, de plus, b1 = b2 ; sinon elles sont strictement paralleles (aucun point commun).
• (D1) et (D2) sont perpendiculaires si et seulement si a1 multiplie par a2 est egal a -1.
• Si a1 est different de a2, les droites sont secantes : elles ont un unique point d'intersection, dont les coordonnees s'obtiennent en resolvant le systeme forme par leurs deux equations.

Schema-bilan

Deux points ou un point et une pente -> coefficient directeur a -> equation reduite y = ax + b (ou equation cartesienne Ax + By + C = 0) -> comparaison des coefficients directeurs pour etudier le parallelisme, la perpendicularite ou l'intersection de deux droites.