Mathématiques · 3ème année collège (3APIC)
Ordre et opérations
1Rappels du cours
Les intervalles et la comparaison des nombres réels
La droite graduée
Les nombres réels peuvent être représentés sur une droite graduée, où chaque point correspond à un nombre. Plus un nombre est situé à droite, plus il est grand.
La comparaison de nombres réels
Pour comparer deux nombres réels, on peut les placer sur la droite graduée, ou comparer directement leurs valeurs (en utilisant les symboles <, >, ≤, ≥, =).
La notion d'intervalle
Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. On distingue :
- L'intervalle fermé [a ; b] : contient a, b, et tous les nombres entre les deux.
- L'intervalle ouvert ]a ; b[ : contient tous les nombres strictement entre a et b, sans a ni b.
- Les intervalles semi-ouverts [a ; b[ ou ]a ; b] : contiennent une seule des deux bornes.
L'encadrement d'un nombre
Encadrer un nombre x, c'est trouver deux nombres a et b tels que a ≤ x ≤ b (ou a < x < b). Cela permet notamment de donner une valeur approchée d'un nombre dont on ne connaît pas la valeur exacte.
La distance entre deux nombres
Sur une droite graduée, la distance entre deux nombres a et b est donnée par la valeur absolue de leur différence : d = |a − b|.
Exemple
Le nombre racine de 2 est compris entre 1,41 et 1,42 : on peut écrire 1,41 < racine de 2 < 1,42, ce qui constitue un encadrement.
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. L'intervalle ]a ; b[ contient :
2. La distance entre deux nombres a et b sur une droite graduée se calcule par :
3. Sachant que 1,41 < racine de 2 < 1,42, on dit que l'on a :
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen nationalOn donne les nombres suivants : a = -3,5 ; b = 2 ; c = -1 ; d = 4.
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Ranger ces quatre nombres dans l'ordre croissant.
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Calculer la distance entre a et d sur la droite graduee.
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L'intervalle [-2 ; 3] contient-il le nombre c ? Justifier.
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Donner un encadrement du nombre racine de 5, sachant que 2,2^2 = 4,84 et 2,3^2 = 5,29.