1Rappels du cours

Théorème de Rolle

Si f est continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a ; b[ tel que f'(c) = 0.

Théorème des accroissements finis (TAF)

Si f est continue sur [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[, alors il existe c ∈ ]a ; b[ tel que :

f(b) − f(a) = f'(c)·(b − a)

Inégalité des accroissements finis (IAF)

Si m ≤ f'(x) ≤ M sur ]a ; b[, alors :

m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a) Si |f'(x)| ≤ k, alors |f(b) − f(a)| ≤ k|b − a|.

Applications

Encadrements (ex. : x/(1+x) ≤ ln(1+x) ≤ x).
Étude de suites uₙ₊₁ = f(uₙ) : |uₙ₊₁ − ℓ| ≤ k|uₙ − ℓ| (convergence).

2Renforcement vidéo

Capsule sélectionnée — YouTube (3 à 5 minutes).

Regarder la vidéo ↗

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Le théorème de Rolle exige notamment :

2. Si |f'(x)| ≤ 1/2 sur I, alors pour a, b ∈ I :

3. Le TAF garantit l'existence de c tel que :

4Entraînement

Exercice — Encadrement de ln

AlloSchool (programme 2Bac SM)

Montrer, à l'aide du TAF appliqué à ln sur [x ; x + 1] (x > 0), que : 1/(x + 1) < ln(x + 1) − ln x < 1/x.