Mathématiques · 2ème année Bac
Suites numériques
1Rappels du cours
Rappels sur les suites
Une suite numérique (u_n) est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ.
- Suite arithmétique : u_(n+1) = u_n + r (r = raison). Terme général : u_n = u_0 + n·r.
- Suite géométrique : u_(n+1) = q × u_n (q = raison). Terme général : u_n = u_0 × q^n.
Le raisonnement par récurrence
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀, on procède en trois étapes :
- Initialisation : vérifier que P(n₀) est vraie.
- Hérédité : supposer P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀ quelconque (hypothèse de récurrence), et démontrer que P(n+1) est alors vraie.
- Conclusion : d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
Limite d'une suite
Une suite (u_n) converge vers un réel l si u_n se rapproche de l quand n tend vers +∞. On note lim(n→+∞) u_n = l.
- Une suite géométrique de raison q converge vers 0 si −1 < q < 1.
- Une suite géométrique de raison q > 1 diverge vers +∞ (si u_0 > 0).
- Une suite croissante et majorée converge (théorème de convergence monotone).
- Une suite croissante et non majorée diverge vers +∞.
Suites majorées, minorées, monotones
- (u_n) est majorée s'il existe M tel que u_n ≤ M pour tout n.
- (u_n) est croissante si u_(n+1) ≥ u_n pour tout n.
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. Quelles sont les trois étapes d'une démonstration par récurrence ?
2. Une suite géométrique de raison q = 0,5 (avec u_0 > 0) :
3. Une suite croissante et majorée :
4. Dans « Suites numériques », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Suites numériques », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Suites numériques », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Suites numériques », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Suites numériques », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. Une suite arithmétique vérifie u0=2 et r=4. Quelle est u3 ?
10. Une suite géométrique vérifie u0=5 et q=2. Quelle est u4 ?
11. Si 0<q<1, que devient q^n lorsque n→+∞ ?
12. Quelle est la limite de un=(3n+2)/(n+1) ?
13. Une suite croissante et majorée…
14. Une suite décroissante et minorée…
15. Pour étudier si une suite est croissante, on peut étudier…
16. Si un=n+1, quelle est sa limite ?
17. Si un=1/n pour n≥1, quelles affirmations sont exactes ?
18. Pour une suite géométrique de raison q=3, quelles affirmations sont exactes si u0>0 ?
19. La somme 1+2+4+8 vaut…
20. Une suite définie par un+1=0,2un+4 admet une limite L. Quelle équation vérifie L ?
21. Pour un+1=0,2un+4, la limite possible est…
22. La suite un=(-1)^n est…
23. Quelle erreur faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen national (type)Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1 et u_(n+1) = 2u_n + 1 pour tout entier n ≥ 0.
- Calculer u_1, u_2 et u_3.
- Démontrer par récurrence que u_n ≥ 0 pour tout entier n.
- Montrer que la suite (u_n) est croissante.