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Mathématiques · 2ème année Bac

Structures algébriques

1Rappels du cours

Structures algébriques : groupes et anneaux

La loi de composition interne

Une loi de composition interne sur un ensemble E est une opération qui, à deux éléments de E, associe un unique élément de E (par exemple, l'addition ou la multiplication sur les nombres réels).

Les propriétés d'une loi

  • Associativité : (a * b) * c = a * (b * c) pour tous a, b, c de E.
  • Élément neutre : il existe e dans E tel que a * e = e * a = a pour tout a de E.
  • Symétrique (ou inverse) : pour tout a de E, il existe a' dans E tel que a * a' = a' * a = e.
  • Commutativité : a * b = b * a pour tous a, b de E.

La structure de groupe

Un ensemble E muni d'une loi * est un groupe si :

  1. La loi est associative.
  2. Il existe un élément neutre.
  3. Tout élément possède un symétrique.

Si de plus la loi est commutative, on parle de groupe commutatif (ou abélien).

Exemples de groupes

  • (ℤ, +) est un groupe commutatif : élément neutre 0, symétrique de a est −a.
  • (ℝ*, ×) est un groupe commutatif : élément neutre 1, symétrique de a est 1/a.

La structure d'anneau

Un ensemble E muni de deux lois internes, notées + et ×, est un anneau si :

  1. (E, +) est un groupe commutatif.
  2. La loi × est associative et possède un élément neutre.
  3. La loi × est distributive par rapport à la loi + : a × (b + c) = a×b + a×c.

Exemple d'anneau

(ℤ, +, ×) est un anneau : ℤ muni de l'addition et de la multiplication vérifie toutes les propriétés requises.

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Un ensemble E muni d'une loi * est un groupe si :

2. (ℤ, +) est un groupe commutatif car :

3. Un anneau (E, +, ×) requiert notamment que :

4. Dans « Structures algébriques », quelle affirmation est exacte ?

5. Dans « Structures algébriques », sélectionne toutes les propositions exactes.

6. À propos de « Structures algébriques », quelles affirmations sont correctes ?

7. Parmi ces propositions sur « Structures algébriques », lesquelles sont exactes ?

8. Dans « Structures algébriques », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?

9. Pour qu'une loi * définisse un groupe sur E, quelles propriétés sont nécessaires ?

10. Un groupe commutatif est aussi appelé…

11. Dans (Z,+), quel est l'élément neutre ?

12. Dans (R*,×), quel est l'élément neutre ?

13. Dans (R*,×), l'inverse de a non nul est…

14. Quelles affirmations sont exactes pour un sous-groupe H d'un groupe G ?

15. La loi + sur Z est…

16. La loi × sur Z définit-elle un groupe ?

17. Un anneau comporte notamment…

18. Un corps est un anneau dans lequel…

19. Parmi ces ensembles, lesquels sont des corps usuels ?

20. La distributivité s'écrit notamment…

21. Si e est l'élément neutre d'un groupe, alors…

22. Dans un groupe, l'inverse de ab est…

23. Quelle erreur classique faut-il éviter ?

4Entraînement

Exercice type — Examen national

Examen national

On munit l'ensemble R* (les reels non nuls) de la loi de composition interne × (multiplication usuelle).

  1. La loi × est-elle associative sur R* ? Justifier brievement.

  2. Determiner l'element neutre de la loi × sur R*.

  3. Montrer que tout element a de R* possede un symetrique pour la loi ×, et le donner.

  4. En deduire que (R*, ×) est un groupe. Est-il commutatif ? Justifier.