Mathématiques · 2ème année Bac
Géométrie dans l'espace : produit vectoriel
1Rappels du cours
Le produit vectoriel et ses applications géométriques
Définition du produit vectoriel
Pour deux vecteurs u et v de l'espace, le produit vectoriel, noté u ∧ v, est un vecteur tel que :
- Sa norme est égale à ||u|| × ||v|| × sin(u, v), ce qui correspond à l'aire du parallélogramme construit sur u et v.
- Sa direction est orthogonale au plan formé par u et v.
- Son sens est déterminé par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), de façon à former un trièdre direct (u, v, u∧v).
Si u et v sont colinéaires, alors u ∧ v est le vecteur nul.
Expression en coordonnées
Dans un repère orthonormé direct, si u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z'), alors les coordonnées de u ∧ v sont données par :
(y×z' − z×y' ; z×x' − x×z' ; x×y' − y×x')
Propriétés du produit vectoriel
- Antisymétrie : v ∧ u = −(u ∧ v)
- Bilinéarité : u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w
- u ∧ u = vecteur nul (pour tout vecteur u)
Applications géométriques
- Aire d'un triangle ABC : Aire = (1/2) × ||AB ∧ AC||.
- Vecteur normal à un plan : le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs non colinéaires d'un plan donne un vecteur normal à ce plan.
- Volume d'un parallélépipède construit sur trois vecteurs u, v, w : Volume = |(u ∧ v) · w| (produit mixte).
Exemple
Pour calculer l'aire d'un triangle ABC dans l'espace, on calcule les vecteurs AB et AC, puis leur produit vectoriel AB ∧ AC, et enfin l'aire vaut la moitié de la norme de ce vecteur.
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. La norme du produit vectoriel u ∧ v est égale à :
2. Quelles propriétés vérifie le produit vectoriel ?
3. L'aire d'un triangle ABC dans l'espace peut se calculer par :
4. Dans « Géométrie dans l’espace », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Géométrie dans l’espace », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Géométrie dans l’espace », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Géométrie dans l’espace », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Géométrie dans l’espace », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. Dans l'espace, trois points non alignés déterminent…
10. Deux droites de l'espace peuvent être…
11. Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, on peut notamment montrer que…
12. Si un plan a pour équation ax+by+cz+d=0, un vecteur normal est…
13. Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont…
14. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont…
15. Le produit scalaire de u=(1,2,3) et v=(2,0,-1) vaut…
16. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si…
17. Quelles données définissent une droite de l'espace ?
18. Une représentation paramétrique de la droite passant par A(x0,y0,z0) de directeur (a,b,c) est…
19. Pour savoir si un point appartient à un plan, on…
20. Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan, son vecteur directeur doit être…
21. Si deux droites ont des vecteurs directeurs colinéaires, elles sont…
22. La distance d'un point A à un plan est…
23. Quelle erreur classique faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen nationalDans un repere orthonorme direct de l'espace, on donne les vecteurs u(1 ; 2 ; 0) et v(0 ; 1 ; 3).
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Calculer les coordonnees du produit vectoriel u ∧ v.
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Calculer la norme du vecteur u ∧ v.
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On considere le triangle OAB avec O l'origine, A tel que OA = u et B tel que OB = v. Calculer l'aire du triangle OAB.
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Le vecteur u ∧ v est-il orthogonal a u et a v ? Justifier sans calcul, a partir de la definition du produit vectoriel.