Mathématiques · 2ème année Bac
Dénombrement et probabilités
1Rappels du cours
Rappels de dénombrement
Pour dénombrer les issues d'une expérience aléatoire, on utilise plusieurs outils :
- Principe multiplicatif : si une expérience comporte p étapes successives, avec n1 possibilités pour la première étape, n2 pour la deuxième, etc., le nombre total d'issues est n1 × n2 × ... × np.
- Permutations : le nombre de façons d'ordonner n objets distincts est n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1.
- Arrangements : le nombre de façons de choisir et d'ordonner k objets parmi n est A(n,k) = n! / (n−k)!.
- Combinaisons : le nombre de façons de choisir k objets parmi n, sans tenir compte de l'ordre, est C(n,k) = n! / (k!(n−k)!).
Probabilité d'un événement
Dans une expérience où toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d'un événement A est :
P(A) = nombre d'issues favorables à A / nombre d'issues possibles
Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle de B sachant A (avec P(A) ≠ 0) est définie par :
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
On en déduit la formule des probabilités composées :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
Événements indépendants
Deux événements A et B sont indépendants si :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
ce qui équivaut à P(B|A) = P(B) (la réalisation de A ne modifie pas la probabilité de B).
Formule des probabilités totales
Si A1, A2, ..., An forment une partition de l'univers (événements disjoints dont l'union est l'univers), alors pour tout événement B :
P(B) = P(A1) × P(B|A1) + P(A2) × P(B|A2) + ... + P(An) × P(B|An)
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. On tire successivement et sans remise 3 boules d'une urne qui en contient 10. Combien de tirages ordonnés possibles ?
2. Soit A et B deux événements de probabilités non nulles. Lesquelles des affirmations suivantes caractérisent l'indépendance de A et B ?
3. Une combinaison C(n,k) compte...
4. Dans « Dénombrement », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Dénombrement », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Dénombrement », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Dénombrement », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Dénombrement », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. Dans « Probabilités », quelle affirmation est exacte ?
10. Dans « Probabilités », sélectionne toutes les propositions exactes.
11. À propos de « Probabilités », quelles affirmations sont correctes ?
12. Parmi ces propositions sur « Probabilités », lesquelles sont exactes ?
13. Dans « Probabilités », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
14. Combien y a-t-il de façons de choisir 2 objets parmi 5 sans ordre ?
15. Combien y a-t-il de permutations de 4 objets distincts ?
16. Quelles affirmations sont exactes ?
17. La combinaison C(n,p) compte…
18. C(6,1) vaut…
19. C(6,5) vaut…
20. Quelle identité de symétrie est correcte ?
21. Combien de codes à 3 chiffres peut-on former avec répétition autorisée, de 0 à 9 ?
22. Combien de mots de 3 lettres distinctes peut-on former à partir de 5 lettres distinctes, si l'ordre compte ?
23. Quelles situations font intervenir l'ordre ?
24. Combien de sous-ensembles possède un ensemble de n éléments ?
25. C(5,2)+C(5,3) vaut…
26. La formule de C(n,p) est…
27. Pour choisir un président et un secrétaire parmi 6 personnes, combien de choix ?
28. Quelle erreur classique faut-il éviter ?
29. La probabilité d'un événement certain vaut…
30. Si P(A)=0,3, alors P(Ā) vaut…
31. Si A et B sont incompatibles, alors…
32. La formule générale de P(A∪B) est…
33. Si P(A)=0,5, P(B)=0,4 et P(A∩B)=0,1, alors P(A∪B) vaut…
34. La probabilité conditionnelle P(A|B) vaut…
35. Deux événements A et B sont indépendants si…
36. Si P(A)=0,6 et P(B|A)=0,2, alors P(A∩B) vaut…
37. Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin se calcule généralement par…
38. Pour plusieurs chemins incompatibles conduisant au même événement, on…
39. Une expérience de Bernoulli possède…
40. Si X~B(n,p), alors E(X) vaut…
41. Si X~B(10,0,3), alors E(X) vaut…
42. Quelles affirmations sont exactes ?
43. Quelle erreur classique faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen national — adaptéUne urne contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules noires, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne.
- Calculer le nombre total de tirages possibles.
- Calculer la probabilité de l'événement A : « les 3 boules tirées sont rouges ».
- Calculer la probabilité de l'événement B : « les 3 boules tirées sont de couleurs différentes ».
- On tire maintenant successivement et sans remise 2 boules. Sachant que la première boule tirée est rouge, quelle est la probabilité que la seconde soit verte ?