1Rappels du cours

Nombres complexes : forme trigonometrique et exponentielle

1. Module et argument

Pour un nombre complexe non nul z = a + ib (a et b reels), on definit :

le module de z : |z| = racine carree de (a au carre + b au carre) ;
un argument de z : un angle theta (note arg(z)) tel que a = |z| x cos(theta) et b = |z| x sin(theta), defini a 2 x pi pres.

2. Forme trigonometrique et forme exponentielle

En posant r = |z| et theta = arg(z), tout nombre complexe non nul s'ecrit sous forme trigonometrique :

z = r x (cos(theta) + i x sin(theta))

Ou, de maniere equivalente, sous forme exponentielle :

z = r x e a la puissance (i x theta)

3. Formule de Moivre

Pour tout entier n et tout reel theta :

(cos(theta) + i x sin(theta)) a la puissance n = cos(n x theta) + i x sin(n x theta)

Cette formule permet de calculer facilement les puissances d'un nombre complexe donne sous forme trigonometrique.

4. Produit et quotient sous forme exponentielle

Si z1 = r1 x e a la puissance (i x theta1) et z2 = r2 x e a la puissance (i x theta2), alors :

z1 x z2 = (r1 x r2) x e a la puissance (i x (theta1 + theta2)) : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent ;
z1 / z2 = (r1 / r2) x e a la puissance (i x (theta1 - theta2)), pour z2 different de 0.

5. Exemple

Soit z = 1 + i.

Module : |z| = racine carree de (1 au carre + 1 au carre) = racine carree de 2.

Argument : comme la partie reelle et la partie imaginaire sont egales et positives, arg(z) = pi/4.

Donc z = racine carree de 2 x e a la puissance (i x pi/4).

Calculons z a la puissance 4 grace a la formule de Moivre : z a la puissance 4 = (racine carree de 2) a la puissance 4 x (cos(4 x pi/4) + i x sin(4 x pi/4)) = 4 x (cos(pi) + i x sin(pi)) = 4 x (-1 + 0i) = -4.

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Quel est le module du nombre complexe z = 1 + i ?

2. Quel est un argument du nombre complexe z = 1 + i ?

3. Si z1 = r1 x e a la puissance (i x theta1) et z2 = r2 x e a la puissance (i x theta2), que vaut z1 x z2 ?

4Entraînement

Produit de deux nombres complexes sous forme exponentielle

Exercice original EduMaroc

Soient z1 = racine carree de 3 + i et z2 = 1 + i.

Determiner le module et un argument de z1.
Determiner le module et un argument de z2.
En deduire le module et un argument de z1 x z2, puis ecrire z1 x z2 sous forme exponentielle.

Nombres complexes 2 : forme trigonométrique et applications