Mathématiques · 2ème année Bac
Nombres complexes 1 : forme algébrique
1Rappels du cours
L'ensemble des nombres complexes
L'ensemble ℂ des nombres complexes est un ensemble de nombres qui contient ℝ et qui contient un nombre noté i tel que i² = −1.
Forme algébrique
Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme :
z = a + ib, avec a, b ∈ ℝ
- a est la partie réelle de z, notée Re(z).
- b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).
Si b = 0, z est un réel. Si a = 0 (et b ≠ 0), z est un imaginaire pur.
Conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué de z = a + ib est z̄ = a − ib. On a les propriétés : z + z̄ = 2a (réel), z × z̄ = a² + b² (réel positif).
Module d'un nombre complexe
Le module de z = a + ib, noté |z|, est défini par :
|z| = √(a² + b²)
Il correspond géométriquement à la distance entre l'origine O et le point M(a ; b) qui représente z dans le plan complexe.
Argument d'un nombre complexe
Pour z ≠ 0, l'argument de z, noté arg(z), est une mesure de l'angle (en radians) entre l'axe des réels et le vecteur OM, où M est le point d'affixe z. On a :
cos(arg z) = a / |z| et sin(arg z) = b / |z|
Opérations
- Addition : (a + ib) + (c + id) = (a+c) + i(b+d)
- Multiplication : (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- |z1 × z2| = |z1| × |z2| ; arg(z1 × z2) = arg(z1) + arg(z2) (à 2π près)
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. Que vaut i² ?
2. Quel est le module de z = 3 + 4i ?
3. Si z = a + ib avec b = 0, alors z est :
4. Dans « Nombres complexes », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Nombres complexes », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Nombres complexes », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Nombres complexes », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Nombres complexes », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. Quel est le module de z=3+4i ?
10. Le conjugué de 1+2i est…
11. Quelle est la valeur de i² ?
12. Quelle est la forme algébrique de (2+i)+(1-3i) ?
13. Quelle est la forme algébrique de (1+i)(1-i) ?
14. Quelles affirmations sont exactes ?
15. Si z=2e^{iπ/2}, quelle est sa forme algébrique ?
16. Un argument du nombre complexe 1+i est…
17. La distance entre A(zA) et B(zB) est…
18. Quelle est la solution de z-3i=2 ?
19. Résoudre z²=4.
20. Quelles écritures de -i sont correctes ?
21. Quelle est la forme algébrique de 1/i ?
22. Si z=4e^{iθ}, quel est son module ?
23. Quelle erreur classique faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen national (type)Soit z1 = 1 + i et z2 = 2 − i.
- Calculer z1 + z2 et z1 × z2 sous forme algébrique.
- Calculer le module de z1.
- Calculer le conjugué de z1 × z2.