Mathématiques · 2ème année Bac
Limites et continuité
1Rappels du cours
Limite d'une fonction en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a (éventuellement sauf en a), et soit l un réel. On dit que f admet pour limite l en a si f(x) se rapproche de l lorsque x se rapproche de a. On note :
lim(x→a) f(x) = l
Limites usuelles
- lim(x→+∞) 1/x = 0 ; en 0, les limites à gauche et à droite de 1/x sont différentes (-∞ et +∞), la limite en 0 n'existe donc pas.
- lim(x→+∞) x^n = +∞ pour n ≥ 1.
- Pour un polynôme, la limite en +∞ ou en -∞ est donnée par son terme de plus haut degré.
- Pour une fraction rationnelle, la limite en ±∞ est donnée par le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Opérations sur les limites
Les limites de sommes, produits et quotients se calculent en général en combinant les limites des fonctions, sauf dans les cas de formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0.
Continuité en un point
Une fonction f est continue en a si :
lim(x→a) f(x) = f(a)
Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle. Graphiquement, cela signifie que l'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si f est continue sur [a ; b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un réel c dans [a ; b] tel que f(c) = k.
Corollaire : si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans ]a ; b[.
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. Que signifie "f est continue en a" ?
2. Quelle est la forme indéterminée parmi les suivantes ?
3. Le théorème des valeurs intermédiaires permet de :
4. Dans « Limites et continuité », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Limites et continuité », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Limites et continuité », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Limites et continuité », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Limites et continuité », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. Quelle est la limite de (5x+2)/(x+1) quand x→+∞ ?
10. Parmi les formes suivantes, lesquelles sont indéterminées ?
11. Quelle est la limite de (x²-4)/(x-2) quand x→2 ?
12. Si lim f(x)=2 et lim g(x)=3 quand x→a, quelles limites sont exactes ?
13. Une fonction est continue en a si…
14. Si lim x→a f(x)=+∞, que représente souvent la droite x=a ?
15. Si lim x→+∞ f(x)=4, quelle asymptote horizontale peut exister ?
16. Une fonction continue sur [1,3] vérifie f(1)=-2 et f(3)=4. Quelles affirmations sont exactes ?
17. Quelle est la limite de 1/x quand x→+∞ ?
18. Quelle est la limite de x² quand x→-∞ ?
19. Pour calculer une limite donnant 0/0, quelles techniques peuvent aider ?
20. Quelle est la limite de (2x²+1)/(x²-3) quand x→+∞ ?
21. Si une fonction n’a pas la même limite à gauche et à droite en a, alors…
22. Quelles affirmations sur une asymptote horizontale y=L sont exactes ?
23. Quelle erreur classique faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen national (type)Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x + 1.
- Calculer lim(x→+∞) f(x) et lim(x→−∞) f(x).
- Justifier que f est continue sur ℝ.
- Montrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0 ; 1].