Mathématiques · 2ème année Bac
Fonctions logarithmiques
1Rappels du cours
Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0 ; +∞[ comme la primitive de la fonction x ↦ 1/x qui s'annule en 1 :
ln(1) = 0 et (ln)'(x) = 1/x pour x > 0
Propriétés algébriques fondamentales
Pour tous réels strictement positifs a et b :
- ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
- ln(a/b) = ln(a) − ln(b)
- ln(1/a) = −ln(a)
- ln(a^n) = n × ln(a) pour tout entier n
- ln(√a) = (1/2) ln(a)
Sens de variation et limites
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ (car sa dérivée 1/x est strictement positive).
- lim(x→0⁺) ln(x) = −∞
- lim(x→+∞) ln(x) = +∞
- lim(x→+∞) ln(x)/x = 0 (croissance comparée)
Équations et inéquations avec ln
Comme ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, pour a, b > 0 :
ln(a) = ln(b) ⟺ a = b ln(a) < ln(b) ⟺ a < b
⚠️ Le logarithme n'est défini que pour des nombres strictement positifs : toute équation avec ln nécessite de vérifier le domaine de définition avant de conclure.
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction ln ?
2. Que vaut ln(1) ?
3. Pour a, b > 0, à quoi est égal ln(a) + ln(b) ?
4. Dans « Fonctions logarithmiques », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Fonctions logarithmiques », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Fonctions logarithmiques », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Fonctions logarithmiques », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Fonctions logarithmiques », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. Quel est le domaine de ln(x+4) ?
10. Quelle égalité est correcte ?
11. Résoudre ln x=0.
12. Quelle est la dérivée de ln x ?
13. Quelles limites sont exactes ?
14. Résoudre ln(x+2)=ln5.
15. Si x>1, alors…
16. Si 0<x<1, quelles affirmations sont exactes ?
17. Quelle est la dérivée de ln(3x) pour x>0 ?
18. Quelle est la limite de ln x/x quand x→+∞ ?
19. Quelles propriétés sont exactes ?
20. Résoudre ln x<0.
21. Si ln a=4, alors a vaut…
22. Avant de résoudre ln(2x-1)=3, il faut vérifier…
23. Quelle erreur faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen national (type)Résoudre dans ℝ l'équation ln(x) + ln(x−1) = ln(6).
- Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'équation a un sens (domaine de définition).
- Résoudre l'équation en utilisant les propriétés du logarithme.
- Vérifier que la (les) solution(s) trouvée(s) appartien(nen)t bien au domaine de définition.