Mathématiques · 2ème année Bac
Fonctions exponentielles
1Rappels du cours
Définition de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée exp ou x ↦ e^x, est l'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que :
f'(x) = f(x) pour tout x et f(0) = 1
On note e^x sa valeur en x, avec e = exp(1) ≈ 2,718 (nombre d'Euler).
Propriétés algébriques
Pour tous réels a et b :
- e^(a+b) = e^a × e^b
- e^(−a) = 1/e^a
- e^(a−b) = e^a / e^b
- (e^a)^n = e^(na) pour tout entier n
- e^x > 0 pour tout réel x
Sens de variation et limites
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ (car sa dérivée e^x est toujours strictement positive).
- lim(x→−∞) e^x = 0
- lim(x→+∞) e^x = +∞
- lim(x→+∞) e^x / x = +∞ (croissance comparée : l'exponentielle « l'emporte » sur les polynômes)
Lien avec le logarithme népérien
Les fonctions exp et ln sont réciproques l'une de l'autre sur leurs domaines respectifs :
ln(e^x) = x pour tout x ∈ ℝ et e^(ln x) = x pour tout x > 0
Équations et inéquations avec exp
Comme exp est strictement croissante sur ℝ, pour tous réels a et b :
e^a = e^b ⟺ a = b e^a < e^b ⟺ a < b
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. Résoudre dans R : e^(2x-1) = e^(x+3).
2. Parmi les propriétés suivantes, lesquelles sont vraies pour la fonction exponentielle f(x) = e^x sur R ?
3. La fonction exponentielle est l'unique fonction f dérivable sur R telle que...
4. Dans « Fonctions exponentielles », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Fonctions exponentielles », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Fonctions exponentielles », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Fonctions exponentielles », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Fonctions exponentielles », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. Quelle est la dérivée de e^x ?
10. Quelle est la dérivée de e^{3x} ?
11. Résoudre e^x=4.
12. Quelle est la limite de e^x quand x→-∞ ?
13. Quelles affirmations sont exactes ?
14. Résoudre e^{2x}=e^8.
15. Quelle est la dérivée de xe^x ?
16. Quelle est la limite de e^{-x} quand x→+∞ ?
17. Quelle est la solution de e^x>1 ?
18. Quelles propriétés sont correctes ?
19. Si e^a=3, alors e^{2a} vaut…
20. La fonction exponentielle est…
21. Quelle est la limite de x/e^x quand x→+∞ ?
22. Résoudre e^{x-2}=1.
23. Quelle erreur classique faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen national — adaptéSoit f la fonction définie sur R par f(x) = e^(2x) - 2e^x.
- Calculer la limite de f en -∞, puis en +∞.
- Calculer f'(x) et étudier son signe sur R.
- Dresser le tableau de variations de f.
- Résoudre dans R l'équation f(x) = 0, en posant t = e^x.