Espaces vectoriels réels

Introduction

La notion d'espace vectoriel generalise les structures algebriques deja rencontrees (vecteurs du plan, vecteurs de l'espace) a un cadre abstrait. Elle fournit un langage commun a de nombreux domaines des mathematiques et permet d'etudier des applications lineaires entre ensembles de vecteurs.

1. Structure d'espace vectoriel

Soit E un ensemble muni d'une addition (+) et d'une multiplication externe par un reel (.). On dit que (E, +, .) est un espace vectoriel reel (ou R-espace vectoriel) si :

• (E, +) est un groupe commutatif (associativite, element neutre, symetrique de chaque element, commutativite) ;
• la multiplication externe verifie, pour tous a, b reels et u, v elements de E : a.(u+v) = a.u + a.v (a+b).u = a.u + b.u a.(b.u) = (a.b).u 1.u = u

Les elements de E sont appeles vecteurs, ceux de R sont appeles scalaires.

2. Exemples fondamentaux

L'ensemble R^2 (couples de reels), muni de l'addition usuelle et de la multiplication par un scalaire coordonnee par coordonnee, est un espace vectoriel reel. De meme pour R^3, et plus generalement R^n.

L'ensemble des vecteurs du plan, muni de l'addition vectorielle et de la multiplication par un reel, est un espace vectoriel reel : c'est l'exemple geometrique de reference qui a motive la definition abstraite.

3. Sous-espace vectoriel

Une partie F non vide d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si F est stable par combinaison lineaire : pour tous u, v de F et tous a, b reels, a.u + b.v appartient a F. Un sous-espace vectoriel contient toujours le vecteur nul.

Exemple resolu

Dans R^2, montrer que F = { (x;y), x - 2y = 0 } est un sous-espace vectoriel de R^2.

F est non vide (le couple (0;0) verifie 0-2x0=0, donc (0;0) appartient a F). Soient u=(x1;y1) et v=(x2;y2) deux elements de F (donc x1=2y1 et x2=2y2), et a, b deux reels. Alors a.u+b.v = (a.x1+b.x2 ; a.y1+b.y2). On verifie : a.x1+b.x2 - 2(a.y1+b.y2) = a(x1-2y1) + b(x2-2y2) = a.0 + b.0 = 0. Donc a.u+b.v appartient a F : F est un sous-espace vectoriel de R^2.

4. Famille generatrice, famille libre, base

Une famille de vecteurs (u1, ..., un) de E est generatrice de E si tout vecteur de E s'ecrit comme combinaison lineaire de u1, ..., un.

Une famille (u1, ..., un) est libre (ou les vecteurs sont dits lineairement independants) si la seule combinaison lineaire nulle a1.u1 + ... + an.un = vecteur nul est celle ou tous les coefficients a1, ..., an sont nuls. Dans le cas contraire, la famille est dite liee.

Une famille a la fois libre et generatrice de E est une base de E : tout vecteur de E s'ecrit alors de maniere unique comme combinaison lineaire des vecteurs de la base.

5. Dimension d'un espace vectoriel

Lorsque E admet une base finie, toutes les bases de E ont le meme nombre d'elements : ce nombre est appele la dimension de E, notee dim(E). Par exemple, dim(R^2) = 2 et dim(R^3) = 3.

Si F est un sous-espace vectoriel de E (de dimension finie), alors dim(F) <= dim(E), avec egalite si et seulement si F = E.

Schema-bilan

Espace vectoriel (E,+,.) verifiant les axiomes de structure -> sous-espace vectoriel (stabilite par combinaison lineaire) -> famille generatrice / libre -> base (libre et generatrice) -> dimension (nombre de vecteurs d'une base).