Mathématiques · 2ème année Bac
Équations différentielles
1Rappels du cours
Les équations différentielles
Définition
Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction, reliée à sa (ou ses) dérivée(s). Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient.
L'équation y' = ay
L'équation différentielle y' = a×y (où a est une constante réelle) admet pour solutions générales les fonctions :
y(x) = C × e^(a×x), où C est une constante réelle quelconque.
L'équation y' = ay + b
L'équation y' = a×y + b (avec a différent de 0) admet pour solution générale :
y(x) = C × e^(a×x) − b/a, où C est une constante réelle.
Solution générale et solution particulière
La solution générale dépend d'une constante C, qui n'est pas encore déterminée. Une solution particulière est obtenue en fixant la valeur de C, généralement à partir d'une condition initiale (par exemple, la valeur de y en un point donné).
Exemple d'application : la décroissance radioactive
Le nombre N(t) de noyaux radioactifs présents à l'instant t vérifie l'équation différentielle N'(t) = −λ×N(t), où λ est la constante radioactive. La solution est N(t) = N0 × e^(−λ×t), où N0 est le nombre initial de noyaux.
Exemple avec condition initiale
Soit l'équation y' = 2y, avec la condition y(0) = 5. La solution générale est y(x) = C × e^(2x). En utilisant y(0) = 5, on trouve C = 5, donc la solution particulière est y(x) = 5 × e^(2x).
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. La solution générale de l'équation différentielle y prime = a×y (a constante) est de la forme :
2. Pour déterminer une solution particulière d'une équation différentielle, on utilise généralement :
3. La décroissance radioactive N(t) = N0 × e^(−λt) est solution de quelle équation différentielle ?
4. Dans « Équations différentielles », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Équations différentielles », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Équations différentielles », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Équations différentielles », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Équations différentielles », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. La solution générale de y'=3y est…
10. Résoudre y'=2y avec y(0)=4.
11. Résoudre y'+y=0.
12. La solution générale de y'=5 est…
13. Pour y'=ay+b avec a≠0, une solution particulière constante est…
14. Résoudre y'+2y=6.
15. Pour y'+2y=6 avec y(0)=1, quelle est la solution ?
16. Une condition initiale permet…
17. Si y'=ky avec k<0 et y(0)>0, quelles affirmations sont exactes ?
18. Si y'=ky avec k>0 et y(0)>0, alors…
19. Quelles fonctions sont solutions de y'=0 ?
20. Pour vérifier qu'une fonction y est solution d'une équation différentielle, il faut…
21. La solution de y'=0,5y avec y(0)=2 est…
22. Quelles étapes sont adaptées pour y'+ay=b ?
23. Quelle erreur classique faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen nationalOn considere l'equation differentielle (E) : y prime = 3y, ou y est une fonction derivable sur R.
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Determiner la solution generale de l'equation (E).
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Determiner la solution particuliere f de (E) verifiant f(0) = 2.
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Calculer f(1) (donner une valeur approchee a 0,01 pres, avec e ≈ 2,718).
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Un condensateur se decharge selon une equation differentielle similaire : q prime(t) = -k×q(t), ou q(t) est la charge a l'instant t. Donner, sans demonstration, la forme generale de q(t).