Mathématiques · 2ème année Bac
Dérivation et étude des fonctions
1Rappels du cours
Nombre dérivé et fonction dérivée
f est dérivable en a si le taux d'accroissement [f(a+h) − f(a)] / h admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé de f en a, noté f'(a).
Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. L'équation de cette tangente est :
y = f'(a)(x − a) + f(a)
Dérivées usuelles
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| f(x) = k (constante) | f'(x) = 0 |
| f(x) = x^n | f'(x) = n·x^(n−1) |
| f(x) = 1/x | f'(x) = −1/x² |
| f(x) = √x | f'(x) = 1/(2√x) |
Opérations sur les dérivées
- (u + v)' = u' + v'
- (u × v)' = u'v + uv'
- (u/v)' = (u'v − uv') / v²
- (u∘v)'(x) = v'(x) × u'(v(x))
Dérivée et sens de variation
Sur un intervalle I :
- Si f'(x) ≥ 0 sur I, alors f est croissante sur I.
- Si f'(x) ≤ 0 sur I, alors f est décroissante sur I.
- Si f' s'annule en changeant de signe en un point, f admet un extremum local en ce point.
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. Que représente géométriquement le nombre dérivé f'(a) ?
2. Quelle est la dérivée de f(x) = x³ ?
3. Si f'(x) ≥ 0 sur un intervalle I, que peut-on dire de f sur I ?
4. Dans « Dérivation et étude des fonctions », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Dérivation et étude des fonctions », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Dérivation et étude des fonctions », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Dérivation et étude des fonctions », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Dérivation et étude des fonctions », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. Quelle est la dérivée de f(x)=2x²+3x-1 ?
10. Si f'(x)>0 sur un intervalle, alors f est…
11. Si f'(x)<0 sur un intervalle, alors f est…
12. Quelle est la dérivée de f(x)=1/x pour x≠0 ?
13. La tangente à la courbe de f en x=a a pour pente…
14. L’équation de la tangente en a est…
15. Si f'(2)=0, quelles affirmations sont exactes ?
16. Quelle est la dérivée de (x+1)² ?
17. Si f'(x)=x-3, la fonction f est décroissante sur…
18. Si f'(x)=x-3, la fonction f est croissante sur…
19. Si f' passe de négatif à positif en x=a, alors f admet généralement…
20. Si f' passe de positif à négatif en x=a, alors f admet généralement…
21. Quelles étapes sont utiles pour étudier les variations de f ?
22. Une fonction dérivable en a est…
23. Quelle erreur classique faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen national (type)Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² − 4x + 3.
- Calculer f'(x).
- Étudier le signe de f'(x) et en déduire le sens de variation de f sur ℝ.
- Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a = 1.