Mathématiques · 2ème année Bac
Calcul intégral
1Rappels du cours
Primitive d'une fonction
Une fonction F est une primitive d'une fonction f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si F'(x) = f(x) pour tout x de I.
Deux primitives d'une même fonction f sur I diffèrent d'une constante : si F est une primitive de f, toutes les primitives de f sont de la forme F(x) + C, où C ∈ ℝ.
Primitives usuelles
| Fonction f | Primitive F |
|---|---|
| f(x) = a (constante) | F(x) = ax + C |
| f(x) = x^n (n ≠ −1) | F(x) = x^(n+1)/(n+1) + C |
| f(x) = 1/x (sur ]0;+∞[) | F(x) = ln(x) + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C |
Intégrale d'une fonction continue
Si f est continue et positive sur [a ; b], l'intégrale de f entre a et b, notée ∫[a,b] f(x)dx, représente l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses, et les droites x = a et x = b.
Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive
Si F est une primitive de f sur [a ; b], alors :
∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a)
Propriétés de l'intégrale
- Linéarité : ∫[a,b] (f+g)(x)dx = ∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx
- Relation de Chasles : ∫[a,b] f(x)dx + ∫[b,c] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx
- Si f ≤ g sur [a;b], alors ∫[a,b] f(x)dx ≤ ∫[a,b] g(x)dx
3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. Quelle est une primitive de f(x) = x² sur ℝ ?
2. Que représente géométriquement ∫[a,b] f(x)dx lorsque f est continue et positive sur [a;b] ?
3. Si F est une primitive de f sur [a;b], que vaut ∫[a,b] f(x)dx ?
4. Dans « Calcul intégral », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Calcul intégral », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Calcul intégral », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Calcul intégral », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Calcul intégral », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. Calculer ∫₀¹ x dx.
10. Calculer ∫₀² 2x dx.
11. Si F est une primitive de f, alors ∫ₐᵇ f(x)dx vaut…
12. Calculer ∫₁³ 2 dx.
13. Quelles propriétés sont exactes ?
14. Calculer ∫₀¹ 3x² dx.
15. Si f est positive sur [a,b], alors ∫ₐᵇf représente…
16. Calculer ∫₀^{ln3} e^x dx.
17. Si f≤g sur [a,b], alors…
18. Calculer ∫₀^π cos x dx.
19. Calculer ∫₀^π sin x dx.
20. Si ∫ₐᵇ f=5, alors ∫ᵦₐ f vaut…
21. Quelles affirmations sont exactes ?
22. Quelle est ∫₀¹ (x+1) dx ?
23. Quelle erreur classique faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice type — Examen national
Examen national (type)Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x + 1.
- Déterminer une primitive F de f sur ℝ.
- Calculer l'intégrale I = ∫[0,2] f(x)dx.
- Interpréter graphiquement le résultat obtenu (f est positive sur [0;2]).