Mathématiques · 2ème année Bac
Arithmétique dans ℤ
1Rappels du cours
Divisibilité et division euclidienne
Pour a ∈ ℤ, b ∈ ℕ* : il existe un unique couple (q, r) tel que a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
Congruences
a ≡ b [n] ⇔ n divise a − b. Compatibles avec + et × : a ≡ b [n] ⇒ aᵏ ≡ bᵏ [n].
PGCD et théorème de Bézout
- a ∧ b = PGCD (algorithme d'Euclide).
- Bézout : a et b sont premiers entre eux ⇔ il existe u, v ∈ ℤ tels que au + bv = 1.
- Gauss : si a | bc et a ∧ b = 1, alors a | c.
Nombres premiers
Tout entier ≥ 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
Petit théorème de Fermat
p premier, a non divisible par p : aᵖ⁻¹ ≡ 1 [p].
Équation ax + by = c
Solutions entières ⇔ (a ∧ b) | c ; solution particulière + solutions générales.
2Renforcement vidéo
Capsule sélectionnée — YouTube (3 à 5 minutes).
Regarder la vidéo ↗3Validation directe — QCM
Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.
1. Le reste de la division de 2¹⁰⁰ par 3 est :
2. D'après Fermat, pour p = 7 et a = 3 :
3. L'équation 6x + 9y = 5 :
4. Dans « Arithmétique dans ℤ », quelle affirmation est exacte ?
5. Dans « Arithmétique dans ℤ », sélectionne toutes les propositions exactes.
6. À propos de « Arithmétique dans ℤ », quelles affirmations sont correctes ?
7. Parmi ces propositions sur « Arithmétique dans ℤ », lesquelles sont exactes ?
8. Dans « Arithmétique dans ℤ », quelle proposition décrit une erreur à éviter ?
9. Quel est le pgcd de 84 et 126 ?
10. Quelles affirmations sont exactes si d divise a et b ?
11. L'identité de Bézout pour a et b s'écrit…
12. Deux entiers a et b sont premiers entre eux si…
13. Quel est le reste de 47 dans la division par 5 ?
14. Quelles congruences sont exactes ?
15. Si a≡b mod n, alors…
16. Quel est le reste de 2^5 modulo 3 ?
17. Si a|b et b|c, alors…
18. Quel est le ppcm de 12 et 18 ?
19. Pour des entiers positifs a,b, quelle relation est vraie ?
20. Si pgcd(a,b)=1 et a|bc, alors…
21. Quelles affirmations sur un nombre premier p sont exactes ?
22. Résoudre 3x≡1 mod5. Une solution modulo 5 est…
23. Quelle erreur classique faut-il éviter ?
4Entraînement
Exercice — Équation diophantienne
AlloSchool (programme 2Bac SM)Résoudre dans ℤ² l'équation (E) : 5x − 3y = 1.