Les puissances

Les puissances d'un nombre relatif

1. Qu'est-ce qu'une puissance ?

Quand on multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même, on peut écrire cela plus simplement avec une puissance.

Exemple : 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴ (on lit "2 puissance 4").

De façon générale, pour un nombre a et un nombre entier n (n ≥ 1) :

aⁿ = a × a × a × ... × a (n facteurs a)

Le nombre a s'appelle la base, et n s'appelle l'exposant.

Cas particuliers à connaître :

• a¹ = a
• a⁰ = 1 (pour a différent de 0)
• a² s'appelle "le carré de a"
• a³ s'appelle "le cube de a"

2. Le signe d'une puissance

Quand la base est un nombre négatif, le signe du résultat dépend de l'exposant :

• Si l'exposant est PAIR (2, 4, 6...), le résultat est POSITIF. Exemple : (-2)⁴ = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16

• Si l'exposant est IMPAIR (1, 3, 5...), le résultat est NÉGATIF. Exemple : (-2)³ = (-2) × (-2) × (-2) = -8

Attention à ne pas confondre (-2)⁴ et -2⁴ :

• (-2)⁴ = 16 (on met -2 au carré-carré)
• -2⁴ = -(2⁴) = -16 (on met seulement 2 à la puissance 4, puis on prend l'opposé)

3. Règles de calcul sur les puissances

Pour une base a différente de 0, et des exposants entiers m et n :

• Produit de puissances de même base : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ Exemple : 2³ × 2² = 2⁵ = 32

• Quotient de puissances de même base : aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ Exemple : 5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25

• Puissance d'une puissance : (aᵐ)ⁿ = aᵐ ˣ ⁿ Exemple : (3²)³ = 3⁶ = 729

4. Utilité

Les puissances permettent d'écrire de très grands ou très petits nombres de façon compacte. Elles sont très utiles en sciences (par exemple pour écrire les grandes distances en astronomie) et seront revues au lycée avec la notation scientifique.