Vecteurs de l'espace

Introduction

On etend a l'espace la notion de vecteur deja etudiee dans le plan. Les vecteurs de l'espace permettent de decrire des translations, des directions de droites et de plans, et preparent l'etude du produit scalaire et du produit vectoriel dans l'espace.

1. Vecteurs de l'espace : definitions

A tout couple de points (A, B) de l'espace, on associe un vecteur note vecteur(AB), caracterise par une direction, un sens et une norme (longueur), notee ||vecteur(AB)||. Deux vecteurs sont egaux s'ils ont meme direction, meme sens et meme norme.

Les operations sur les vecteurs de l'espace (somme, produit par un reel, relation de Chasles) obeissent aux memes regles que dans le plan :

vecteur(AB) + vecteur(BC) = vecteur(AC) (relation de Chasles)

2. Vecteurs colineaires, vecteurs coplanaires

Deux vecteurs non nuls u et v sont colineaires s'il existe un reel k tel que u = k.v. Trois points A, B, C sont alignes si et seulement si vecteur(AB) et vecteur(AC) sont colineaires.

Trois vecteurs u, v, w (avec u et v non colineaires) sont coplanaires s'il existe deux reels a et b tels que w = a.u + b.v. Quatre points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs vecteur(AB), vecteur(AC), vecteur(AD) sont coplanaires, c'est-a-dire s'ils appartiennent a un meme plan.

3. Base et repere de l'espace

Trois vecteurs i, j, k non coplanaires forment une base de l'espace : tout vecteur u de l'espace s'ecrit de maniere unique u = x.i + y.j + z.k, ou (x ; y ; z) sont les coordonnees de u dans cette base.

Un point O et une base (i, j, k) forment un repere (O ; i, j, k) de l'espace. Tout point M est alors repere par ses coordonnees (x ; y ; z) telles que vecteur(OM) = x.i + y.j + z.k.

4. Coordonnees : calculs usuels

Dans un repere de l'espace, si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors :

vecteur(AB) a pour coordonnees (xB - xA ; yB - yA ; zB - zA)

Le milieu I de [AB] a pour coordonnees : xI = (xA+xB)/2, yI = (yA+yB)/2, zI = (zA+zB)/2

Si u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z') et a, b reels, alors a.u + b.v a pour coordonnees (a.x + b.x' ; a.y + b.y' ; a.z + b.z').

5. Caracterisation de la colinearite et de la coplanarite par les coordonnees

Dans un repere de l'espace, deux vecteurs u(x;y;z) et v(x';y';z') (v non nul) sont colineaires si et seulement s'il existe un reel k tel que x=kx', y=ky', z=kz' (coordonnees proportionnelles).

Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires si et seulement s'il existe deux reels a et b tels que w = a.u + b.v (traduction en coordonnees : un systeme de 3 equations aux inconnues a et b, qui doit etre compatible).

Exemple resolu

Dans un repere de l'espace, soient A(1;0;2), B(3;-1;4), C(0;2;1). Montrer que A, B, C ne sont pas alignes.

vecteur(AB)(2;-1;2) et vecteur(AC)(-1;2;-1). Ces coordonnees ne sont pas proportionnelles (2/-1 different de -1/2), donc vecteur(AB) et vecteur(AC) ne sont pas colineaires : A, B, C ne sont pas alignes.

Schema-bilan

Vecteurs de l'espace (direction, sens, norme) -> colinearite (2 vecteurs) et coplanarite (3 vecteurs) -> base et repere de l'espace -> coordonnees d'un vecteur, d'un point, d'une combinaison lineaire -> criteres de colinearite/coplanarite par proportionnalite des coordonnees.