1Rappels du cours

Introduction

Le produit vectoriel est un outil specifique a la geometrie de l'espace (il n'existe pas d'equivalent dans le plan). A deux vecteurs, il associe un troisieme vecteur orthogonal aux deux premiers, ce qui en fait un outil puissant pour etudier l'orthogonalite, calculer des aires, et determiner des vecteurs normaux a un plan.

1. Definition du produit vectoriel

Soient u et v deux vecteurs de l'espace. Le produit vectoriel de u et v, note u^v (on lit "u vectoriel v"), est le vecteur defini ainsi :

si u et v sont colineaires, u^v = vecteur nul ;
sinon, u^v est l'unique vecteur tel que : (u^v) est orthogonal a la fois a u et a v ; la norme de u^v vaut ||u|| x ||v|| x sin(u,v) ; et (u, v, u^v) forme une base directe de l'espace (regle de la main droite).

2. Expression en coordonnees

Dans un repere orthonorme direct, si u(x;y;z) et v(x';y';z'), les coordonnees de u^v sont :

u^v = (y.z' - z.y' ; z.x' - x.z' ; x.y' - y.x')

Cette formule s'apprend et se retrouve par un calcul type "en croix" sur les coordonnees prises deux a deux.

3. Proprietes du produit vectoriel

Le produit vectoriel verifie les proprietes suivantes :

Antisymetrie : v^u = -(u^v)

Colinearite : u et v sont colineaires si et seulement si u^v = vecteur nul.

Bilinearite : (a.u)^v = a.(u^v) et u^(v+w) = u^v + u^w, pour tous reels a et vecteurs u, v, w.

Contrairement au produit scalaire, le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur, et non un reel.

4. Applications au calcul d'aires

La norme du produit vectoriel donne directement l'aire d'un parallelogramme ou d'un triangle :

Aire du parallelogramme ABCD = ||vecteur(AB) ^ vecteur(AD)||

Aire du triangle ABC = (1/2) x ||vecteur(AB) ^ vecteur(AC)||

5. Applications aux plans

Le vecteur u^v, etant orthogonal a la fois a u et v, est un vecteur normal au plan contenant des representants de u et v : c'est une methode rapide pour trouver un vecteur normal a un plan (ABC), en calculant vecteur(AB) ^ vecteur(AC).

Exemple resolu

Dans un repere orthonorme, soient u(1;0;2) et v(3;1;0). Calculer u^v.

u^v = (y.z' - z.y' ; z.x' - x.z' ; x.y' - y.x') = (0x0 - 2x1 ; 2x3 - 1x0 ; 1x1 - 0x3) = (-2 ; 6 ; 1)

Schema-bilan

Deux vecteurs u, v -> produit vectoriel u^v (vecteur orthogonal aux deux, formule en croix sur les coordonnees) -> proprietes (antisymetrie, colinearite si nul, bilinearite) -> applications : aire d'un parallelogramme/triangle, vecteur normal a un plan.

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est :

2. Deux vecteurs u et v sont colineaires si et seulement si :

3. L'aire du triangle ABC est donnee par :

4Entraînement

Calcul d'un produit vectoriel et d'une aire

Exercice type controle, 1BAC SM

Dans un repere orthonorme de l'espace, on considere les points A(0;0;0), B(2;0;0), C(0;3;0).

Calculer les coordonnees des vecteurs vecteur(AB) et vecteur(AC).
Calculer les coordonnees du vecteur vecteur(AB) ^ vecteur(AC).
En deduire l'aire du triangle ABC.
Donner un vecteur normal au plan (ABC).