1Rappels du cours

Le produit scalaire dans le plan

Définition

Pour deux vecteurs u et v non nuls, le produit scalaire est défini par :

u·v = ||u|| × ||v|| × cos(u, v)

Si l'un des vecteurs est nul, u·v = 0.

Expression en coordonnées

Dans un repère orthonormé, si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors :

u·v = x×x' + y×y'

Propriétés

Symétrie : u·v = v·u
Bilinéarité : u·(v + w) = u·v + u·w et (k·u)·v = k×(u·v)
u·u = ||u||²
Orthogonalité : u·v = 0 si et seulement si u et v sont orthogonaux (ou l'un est nul).

Projection orthogonale

u·v = OA × OH, où H est le projeté orthogonal de B sur la droite (OA), avec u = OA et v = OB.

Applications classiques

Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) dans un triangle ABC : BC² = AB² + AC² − 2×AB×AC×cos(Â).
Formule de la médiane : calcul de longueur de médiane à l'aide du produit scalaire.
Équation cartésienne d'une droite via un vecteur normal n(a ; b) : a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0.
Équation d'un cercle de diamètre [AB] : MA·MB = 0.

Exemple

Dans un repère orthonormé, soit u(2 ; 3) et v(−1 ; 4). Alors u·v = 2×(−1) + 3×4 = −2 + 12 = 10.

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Dans un repère orthonormé, si u(2 ; 3) et v(−1 ; 4), que vaut u·v ?

2. Que peut-on dire de deux vecteurs u et v non nuls tels que u·v = 0 ?

3. Parmi les formules suivantes, lesquelles expriment correctement le produit scalaire u·v ?

4Entraînement

Exercice type — Examen national

Examen national

Dans un repère orthonormé (O ; i, j), on considère les points A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(2 ; −1).

Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC.
Calculer le produit scalaire AB·AC.
En déduire une mesure de l'angle géométrique BÂC (à l'aide de la calculatrice si nécessaire).
Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Justifier.

Le produit scalaire dans le plan et étude analytique du cercle

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