Le produit scalaire dans l'espace

Introduction

Le produit scalaire, deja etudie dans le plan, se generalise naturellement a l'espace. Il permet de calculer des normes, des distances, de caracteriser l'orthogonalite de deux vecteurs ou de deux droites, et prepare l'etude des plans et du produit vectoriel.

1. Definition du produit scalaire dans l'espace

Soient u et v deux vecteurs de l'espace. Le produit scalaire de u et v, note u.v, est defini par :

Si u et v sont non nuls : u.v = ||u|| x ||v|| x cos(u,v), ou (u,v) designe une mesure de l'angle geometrique forme par des representants de u et v de meme origine.

Si u ou v est nul, u.v = 0.

Comme dans le plan, le produit scalaire est symetrique (u.v = v.u), bilineaire, et u.u = ||u||^2.

2. Expression analytique dans un repere orthonorme

Dans un repere orthonorme (O ; i, j, k) de l'espace, si u(x;y;z) et v(x';y';z'), alors :

u.v = x.x' + y.y' + z.z'

et la norme de u vaut ||u|| = racine(x^2 + y^2 + z^2).

Cette formule permet de calculer un produit scalaire, une norme, ou une distance sans connaitre l'angle geometrique.

3. Orthogonalite

Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si u.v = 0. Deux droites de l'espace sont dites orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (elles ne se coupent pas necessairement).

Une droite D de vecteur directeur u est orthogonale a un plan P si u est orthogonal a deux vecteurs non colineaires de P (donc a tous les vecteurs de P).

4. Vecteur normal a un plan

Un vecteur n non nul est un vecteur normal a un plan P s'il est orthogonal a tout vecteur de P (il suffit qu'il soit orthogonal a deux vecteurs non colineaires de P). Un plan est entierement determine par un point A et un vecteur normal n : M appartient a P si et seulement si vecteur(AM).n = 0.

Si n(a;b;c) est un vecteur normal a P et A(xA;yA;zA) appartient a P, alors P admet une equation cartesienne de la forme :

a(x - xA) + b(y - yA) + c(z - zA) = 0, soit ax + by + cz + d = 0 avec d = -(a.xA + b.yA + c.zA)

5. Distance d'un point a un plan

Si P a pour equation cartesienne ax+by+cz+d = 0 (avec (a;b;c) different de (0;0;0)) et si A(xA;yA;zA) est un point de l'espace, la distance de A au plan P est donnee par :

d(A,P) = |a.xA + b.yA + c.zA + d| / racine(a^2+b^2+c^2)

Exemple resolu

Dans un repere orthonorme, soit le plan P d'equation 2x - y + 2z - 3 = 0 et le point A(1;2;-1). Calculer d(A,P).

d(A,P) = |2x1 - 1x2 + 2x(-1) - 3| / racine(2^2+(-1)^2+2^2) = |2-2-2-3| / racine(9) = |-5| / 3 = 5/3.

Schema-bilan

Produit scalaire u.v (angle ou formule analytique x.x'+y.y'+z.z') -> orthogonalite (u.v=0) -> vecteur normal a un plan -> equation cartesienne ax+by+cz+d=0 -> distance d'un point a un plan.