1Rappels du cours

Les limites de fonctions

Notion intuitive de limite

La limite d'une fonction f en un point a (ou en +∞ ou −∞) décrit le comportement des valeurs de f(x) lorsque x se rapproche de a (ou devient très grand).

Limite finie en un point

On dit que f a pour limite L en a si f(x) se rapproche indéfiniment de L lorsque x se rapproche de a. On note : lim(x→a) f(x) = L.

Limite à l'infini

On dit que f a pour limite L en +∞ si f(x) se rapproche indéfiniment de L lorsque x devient très grand. On note : lim(x→+∞) f(x) = L.

Limites usuelles

Fonctions polynômes : la limite en +∞ ou −∞ est donnée par le terme de plus haut degré.
Fonction racine carrée : lim(x→+∞) racine(x) = +∞.
Fonctions rationnelles : en +∞ ou −∞, on compare les degrés du numérateur et du dénominateur.

Opérations sur les limites

Les règles usuelles s'appliquent à la somme, au produit et au quotient de limites, sous réserve d'éviter les formes indéterminées : "infini moins infini", "zéro fois infini", "infini sur infini", "zéro sur zéro".

Levée d'indétermination

Pour lever une forme indéterminée, on peut factoriser par le terme dominant, utiliser la quantité conjuguée (cas des racines carrées), ou simplifier une expression rationnelle.

Théorème des gendarmes (encadrement)

Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) au voisinage de a, et si g et h ont la même limite L en a, alors f a aussi pour limite L en a.

Asymptotes

Une asymptote horizontale d'équation y = L existe si lim(x→+∞) f(x) = L (ou en −∞).
Une asymptote verticale d'équation x = a existe si lim(x→a) f(x) = +∞ ou −∞.

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Parmi les formes suivantes, lesquelles sont des formes indéterminées ?

2. Une asymptote horizontale d'équation y = L existe lorsque :

3. Le théorème des gendarmes permet de :

4Entraînement

Exercice type — Examen national

Examen national

Soit f la fonction définie par f(x) = (2x² + 3x − 1) / (x − 1).

Déterminer le domaine de définition de f.
Calculer lim(x→+∞) f(x).
Calculer lim(x→1) f(x) (en distinguant limite à gauche et à droite si nécessaire), et en déduire l'existence d'une asymptote verticale.
La courbe de f admet-elle une asymptote horizontale en +∞ ? Justifier.

Les limites d'une fonction numérique