1Rappels du cours

Taux d'accroissement

Soit f une fonction et a un réel de son domaine de définition. Le taux d'accroissement de f entre a et a+h (h≠0) est :

[f(a+h) − f(a)] / h

Ce taux représente le coefficient directeur de la droite passant par les points (a ; f(a)) et (a+h ; f(a+h)).

Nombre dérivé

Lorsque le taux d'accroissement admet une limite finie quand h tend vers 0, cette limite s'appelle le nombre dérivé de f en a, noté f'(a) :

f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) − f(a)] / h

Si cette limite existe, on dit que f est dérivable en a.

Interprétation géométrique : la tangente

Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. L'équation de cette tangente est :

y = f'(a)(x − a) + f(a)

Fonction dérivée

Lorsque f est dérivable en tout point d'un intervalle I, on définit la fonction dérivée f', qui à chaque x de I associe le nombre dérivé f'(x). On retient les dérivées usuelles : (xⁿ)'=n×xⁿ⁻¹, (1/x)'=−1/x², (√x)'=1/(2√x).

Dérivée et sens de variation

Le signe de la dérivée f' renseigne sur les variations de f sur un intervalle :

si f'(x) > 0 sur I, alors f est croissante sur I ;
si f'(x) < 0 sur I, alors f est décroissante sur I ;
si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Le nombre dérivé f'(a) représente géométriquement :

2. Parmi les affirmations suivantes sur la dérivation, lesquelles sont correctes ?

3. L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est :

4Entraînement

Exercice type — Examen national

Examen national — adapté

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² − 3x + 2.

Calculer le taux d'accroissement de f entre 1 et 1+h, pour h≠0, et le simplifier.
En déduire le nombre dérivé f'(1) en calculant la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.
Sachant que f'(x) = 2x − 3, étudier le signe de f'(x) et en déduire le sens de variation de f sur ℝ.

La dérivation d'une fonction numérique