1Rappels du cours

La géométrie dans l'espace : droites et plans

Positions relatives de deux droites

Deux droites de l'espace peuvent être : sécantes (elles se coupent en un point, et sont alors coplanaires), parallèles (coplanaires, sans point commun, ou confondues), ou non coplanaires (elles n'appartiennent à aucun plan commun, sans point commun).

Positions relatives d'une droite et d'un plan

Une droite D et un plan P peuvent être : sécants (la droite coupe le plan en un point unique), la droite incluse dans le plan, ou parallèles (aucun point commun).

Positions relatives de deux plans

Deux plans distincts peuvent être sécants (leur intersection est une droite) ou parallèles (aucun point commun, ou confondus).

Le théorème du toit

Si deux droites parallèles D1 et D2 sont contenues respectivement dans deux plans sécants P1 et P2, alors la droite d'intersection de P1 et P2 est parallèle à D1 et D2.

Parallélisme dans l'espace

Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan. Deux plans sont parallèles s'ils contiennent chacun deux droites sécantes respectivement parallèles.

Orthogonalité dans l'espace

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan (théorème fondamental). Elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.

Exemple d'application

Dans un cube ABCDEFGH, la droite (AE) est orthogonale au plan (ABC) car elle est orthogonale aux droites sécantes (AB) et (AD) de ce plan.

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Deux droites de l'espace sans point commun et non coplanaires sont dites :

2. Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de montrer qu'elle est orthogonale à :

3. D'après le théorème du toit, si deux droites parallèles sont contenues dans deux plans sécants, alors :

4Entraînement

Exercice type — Examen national

Examen national

ABCDEFGH est un cube. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CG].

Préciser la position relative des droites (AB) et (EF).
Montrer que la droite (AE) est orthogonale au plan (ABC).
Préciser la position relative de la droite (AE) et du plan (BCG).
Les droites (AB) et (CG) sont-elles coplanaires ? Justifier.

Géométrie analytique de l'espace