Étude et représentation graphique d'une fonction

Introduction

L'etude analytique d'une fonction numerique consiste a determiner ses principales caracteristiques (domaine de definition, variations, limites) afin de pouvoir tracer sa courbe representative de maniere fiable. Ce chapitre reprend et met en application les outils de la derivation.

1. Domaine de definition

Avant toute etude, il faut determiner l'ensemble des reels pour lesquels l'expression de la fonction a un sens (denominateur non nul, quantite sous une racine carree positive ou nulle, etc.). Cet ensemble est le domaine de definition de la fonction, note Df.

2. Parite d'une fonction

Soit f une fonction dont le domaine de definition Df est symetrique par rapport a 0 (c'est-a-dire que x appartient a Df si et seulement si -x appartient a Df).

• f est paire si, pour tout x de Df, f(-x) = f(x). Sa courbe representative est alors symetrique par rapport a l'axe des ordonnees.
• f est impaire si, pour tout x de Df, f(-x) = -f(x). Sa courbe representative est alors symetrique par rapport a l'origine du repere.

Cette propriete, lorsqu'elle existe, permet de restreindre l'etude a la partie positive de Df, puis de completer la courbe par symetrie.

3. Etude des variations a l'aide de la derivee

La derivee f' d'une fonction f renseigne sur ses variations :

• Si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle.
• Si f'(x) < 0 sur un intervalle, alors f est strictement decroissante sur cet intervalle.
• Si f'(x) = 0 en un point et que f' change de signe en ce point, alors f admet un extremum local (maximum ou minimum) en ce point.

La demarche consiste a calculer f'(x), etudier son signe (souvent a l'aide d'une factorisation ou d'un tableau de signes), puis dresser le tableau de variations de f.

4. Limites aux bornes du domaine et asymptotes

L'etude des limites de f aux bornes de son domaine de definition (en plus ou moins l'infini, ou aux points exclus du domaine) permet de completer le tableau de variations et de detecter d'eventuelles asymptotes :

• Asymptote verticale : si la limite de f(x) est infinie lorsque x tend vers une valeur finie a, la droite d'equation x = a est asymptote verticale a la courbe.
• Asymptote horizontale : si la limite de f(x) lorsque x tend vers plus ou moins l'infini est un reel fini l, la droite d'equation y = l est asymptote horizontale a la courbe.

5. Construction de la courbe representative

Une fois le tableau de variations complet (avec les limites aux bornes et les eventuels extremums), on peut :

1. Placer quelques points particuliers (intersections avec les axes, extremums).
2. Tracer les asymptotes eventuelles.
3. Tracer la courbe en respectant les variations indiquees dans le tableau, en s'approchant des asymptotes sans les toucher.

Exemple resolu (etude simplifiee)

Soit f(x) = x^2 - 4x + 3, definie sur l'ensemble des reels.

f'(x) = 2x - 4. On a f'(x) = 0 pour x = 2 ; f'(x) < 0 pour x < 2 (f decroissante) et f'(x) > 0 pour x > 2 (f croissante). La fonction admet donc un minimum en x = 2, avec f(2) = 4 - 8 + 3 = -1. Le tableau de variations montre f decroissante sur l'intervalle des reels inferieurs a 2, puis croissante sur l'intervalle des reels superieurs a 2, avec un minimum egal a -1 atteint en x = 2.

Schema-bilan

Domaine de definition -> parite eventuelle -> signe de la derivee -> tableau de variations -> limites aux bornes et asymptotes -> trace de la courbe representative.