1Rappels du cours

La trigonométrie : équations et inéquations trigonométriques

Rappel : le cercle trigonométrique

Tout nombre réel x est associé à un point M du cercle trigonométrique, d'abscisse cos(x) et d'ordonnée sin(x), tous deux périodiques de période 2π.

Résolution de cos(x) = cos(a)

cos(x) = cos(a) ⟺ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, avec k ∈ ℤ

Résolution de sin(x) = sin(a)

sin(x) = sin(a) ⟺ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, avec k ∈ ℤ

Résolution de tan(x) = tan(a)

tan(x) = tan(a) ⟺ x = a + kπ, avec k ∈ ℤ (a et x différents de π/2 + kπ)

Formules utiles (rappel)

Addition : cos(a+b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b) ; sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
Duplication : cos(2a) = cos²(a) − sin²(a) ; sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Inéquations trigonométriques

On résout en s'appuyant sur le cercle trigonométrique et le tableau de signe de la fonction concernée sur une période, puis on généralise par périodicité.

Exemple

Résoudre cos(x) = 1/2 sur [0 ; 2π[ : comme cos(π/3) = 1/2, les solutions sont x = π/3 et x = 2π − π/3 = 5π/3.

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Les solutions de cos(x) = cos(a) sont de la forme :

2. Sur [0 ; 2π[, quelles sont les solutions de cos(x) = 1/2 ?

3. Quelle est la période de la fonction sinus ?

4Entraînement

Exercice type — Examen national

Examen national

Résoudre dans [0 ; 2π[ l'équation cos(x) = √2/2.
Résoudre dans [0 ; 2π[ l'équation sin(x) = −1/2.
Résoudre dans ℝ l'équation cos(2x) = cos(x).

Calcul trigonométrique