Ensembles et applications

Introduction

La theorie des ensembles fournit le langage de base de toutes les mathematiques. Elle permet de definir rigoureusement les notions d'appartenance, d'inclusion et d'operations entre ensembles, puis d'introduire la notion d'application (ou fonction) entre deux ensembles, essentielle pour formaliser les relations entre grandeurs.

1. Ensembles : appartenance et inclusion

Un ensemble E est une collection d'objets appeles elements. On note x appartient a E (x est un element de E) et x n'appartient pas a E dans le cas contraire.

Un ensemble A est inclus dans un ensemble E (on note A inclus dans E, ou A sous-ensemble de E) lorsque tout element de A est aussi element de E :

A inclus dans E si et seulement si (pour tout x, x appartient a A => x appartient a E)

L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble. Un ensemble E est toujours inclus dans lui-meme. L'ensemble des parties de E, note P(E), est l'ensemble de tous les sous-ensembles de E.

2. Operations sur les ensembles

Soient A et B deux parties d'un ensemble E.

Union : A union B est l'ensemble des elements qui appartiennent a A ou a B (ou inclusif).

Intersection : A inter B est l'ensemble des elements qui appartiennent a la fois a A et a B. Si A inter B = ensemble vide, A et B sont dits disjoints.

Complementaire : le complementaire de A dans E, note CE(A), est l'ensemble des elements de E qui n'appartiennent pas a A.

Difference : A prive de B (note A \ B) est l'ensemble des elements de A qui n'appartiennent pas a B. On a A \ B = A inter CE(B).

Ces operations verifient des proprietes analogues a celles de l'algebre (commutativite, associativite, distributivite) ainsi que les lois de De Morgan : CE(A union B) = CE(A) inter CE(B) CE(A inter B) = CE(A) union CE(B)

3. Notion d'application

Soient E et F deux ensembles. Une application f de E vers F est un procede qui, a chaque element x de E, associe un unique element de F, note f(x) et appele image de x par f. On note f : E -> F, x |-> f(x). E est l'ensemble de depart, F l'ensemble d'arrivee.

Pour un element y de F, tout element x de E tel que f(x) = y est appele un antecedent de y par f. Un element de F peut avoir zero, un, ou plusieurs antecedents.

4. Image directe, image reciproque

Soit f : E -> F une application, A une partie de E et B une partie de F.

Image directe de A par f : f(A) = { f(x), x appartient a A }, c'est l'ensemble des images des elements de A.

Image reciproque de B par f : f^-1(B) = { x appartient a E, f(x) appartient a B }, c'est l'ensemble des antecedents des elements de B.

Attention : f^-1(B) designe ici un ensemble d'antecedents, et non une fonction reciproque (qui n'existe que si f est bijective, notion vue au paragraphe suivant).

5. Injection, surjection, bijection

Une application f : E -> F est :

injective si deux elements distincts de E ont toujours des images distinctes : pour tous x1, x2 de E, f(x1) = f(x2) => x1 = x2. Autrement dit, tout element de F a au plus un antecedent.

surjective si tout element de F possede au moins un antecedent dans E, c'est-a-dire f(E) = F.

bijective si elle est a la fois injective et surjective : tout element de F possede alors exactement un antecedent dans E. Dans ce cas, on peut definir l'application reciproque f^-1 : F -> E.

Exemple resolu

Soit f : R -> R definie par f(x) = x^2. f n'est pas injective (f(-2) = f(2) = 4 avec -2 different de 2) ni surjective (aucun antecedent pour -1, car un carre est toujours positif ou nul). En revanche, la restriction g : [0 ; +l'infini[ -> [0 ; +l'infini[, g(x) = x^2, est bijective.

Schema-bilan

Ensembles (appartenance, inclusion) -> operations (union, intersection, complementaire, difference) -> application f : E -> F -> image directe / image reciproque -> injectivite / surjectivite / bijectivite selon le nombre d'antecedents de chaque element de F.