1Rappels du cours

Introduction

La notion de barycentre generalise celle de milieu d'un segment en attribuant des coefficients (ou poids) aux points consideres. Elle intervient dans de nombreux problemes de geometrie et trouve des applications en physique (centre de gravite).

1. Barycentre de deux points ponderes

Soient A et B deux points du plan et a et b deux reels tels que a + b soit different de 0. On appelle barycentre des points ponderes (A, a) et (B, b) l'unique point G du plan verifiant :

a x vecteur(GA) + b x vecteur(GB) = vecteur nul

Lorsque a = b, le barycentre G est le milieu du segment [AB] : on parle alors d'isobarycentre.

Position du barycentre sur la droite (AB)

Le barycentre G de (A, a) et (B, b) appartient toujours a la droite (AB). On montre que :

vecteur(AG) = (b / (a+b)) x vecteur(AB)

Cette relation permet de placer precisement G sur le segment ou la droite (AB) selon les valeurs de a et b.

2. Barycentre de trois points ponderes

Soient A, B, C trois points du plan et a, b, c trois reels tels que a + b + c soit different de 0. Le barycentre G de (A, a), (B, b), (C, c) est l'unique point verifiant :

a x vecteur(GA) + b x vecteur(GB) + c x vecteur(GC) = vecteur nul

Lorsque a = b = c, G est l'isobarycentre de A, B, C, aussi appele centre de gravite du triangle ABC : il correspond au point de concours des medianes du triangle.

3. Propriete fondamentale (reduction vectorielle)

Pour tout point M du plan, si G est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors :

a x vecteur(MA) + b x vecteur(MB) = (a + b) x vecteur(MG)

Cette propriete, dite de reduction, est tres utile : elle permet de remplacer une somme ponderee de vecteurs par un unique vecteur, simplifiant de nombreux calculs et demonstrations.

4. Propriete d'homogeneite

Le barycentre de (A, a) et (B, b) est le meme que celui de (A, k.a) et (B, k.b) pour tout reel k non nul. Autrement dit, multiplier tous les coefficients par un meme nombre non nul ne change pas la position du barycentre.

5. Propriete d'associativite (barycentre partiel)

Si G est le barycentre de (A, a), (B, b), (C, c), et si l'on note H le barycentre partiel de (A, a) et (B, b) (avec a + b different de 0), alors G est aussi le barycentre de (H, a+b) et (C, c). Cette propriete permet de construire le barycentre de plusieurs points en plusieurs etapes simples, en substituant un groupe de points par leur barycentre partiel affecte de la somme de leurs coefficients.

Exemple resolu

Construire le barycentre G de (A, 1), (B, 1), (C, 2).

On calcule d'abord H, isobarycentre (milieu) de (A, 1) et (B, 1). Par associativite, G est alors le barycentre de (H, 2) et (C, 2), donc l'isobarycentre (milieu) de H et C : G est le milieu du segment [HC].

Schema-bilan

Points ponderes (A, a), (B, b) [, (C, c)...] -> existence et unicite du barycentre G (si somme des coefficients non nulle) -> proprietes d'homogeneite, d'associativite et de reduction vectorielle pour le localiser et l'utiliser dans les demonstrations.

3Validation directe — QCM

Chaque question peut avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Cochez toutes les propositions qui vous semblent justes. L'ordre des questions et des réponses change à chaque nouvelle tentative.

1. Le barycentre des points ponderes (A, 1) et (B, 1) est :

2. Si G est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors pour tout point M du plan :

3. D'apres la propriete d'homogeneite, le barycentre de (A, 2) et (B, 4) est le meme que le barycentre de :

4Entraînement

Construction et calcul d'un barycentre de trois points ponderes

Exercice type controle, 1BAC

Dans un repere orthonorme, on considere les points A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 6). Soit G le barycentre des points ponderes (A, 1), (B, 2) et (C, 3).

Justifier que le barycentre G existe.
Calculer les coordonnees du point G.
On note H le barycentre partiel des points ponderes (B, 2) et (C, 3). Calculer les coordonnees de H, puis montrer, en utilisant la propriete d'associativite, que G est le barycentre de (A, 1) et (H, 5). Retrouver ainsi les coordonnees de G par un second calcul.
Verifier, en prenant M = O (l'origine du repere), l'egalite vectorielle 1.vecteur(OA) + 2.vecteur(OB) + 3.vecteur(OC) = 6.vecteur(OG).

Le barycentre dans le plan