Inégalité triangulaire et médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment

1. Qu'est-ce que la médiatrice d'un segment ?

La médiatrice d'un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire (elle forme un angle droit avec [AB]).

2. La propriété fondamentale de la médiatrice

Tout point de la médiatrice d'un segment [AB] est à la même distance des deux extrémités A et B. On dit qu'il est équidistant de A et de B.

Autrement dit, si M est un point de la médiatrice de [AB], alors MA = MB.

Cette propriété fonctionne aussi dans l'autre sens : si un point est équidistant de A et de B, alors il se trouve forcément sur la médiatrice de [AB].

3. Construire la médiatrice d'un segment au compas et à la règle

Pour construire la médiatrice d'un segment [AB] :

1. On règle l'écartement du compas à une longueur supérieure à la moitié de AB.
2. On pique la pointe du compas en A et on trace un arc de cercle au-dessus et un arc en dessous du segment.
3. Sans changer l'écartement du compas, on pique la pointe en B et on trace de la même façon deux arcs de cercle qui croisent les précédents.
4. On obtient deux points d'intersection des arcs. La droite qui passe par ces deux points est la médiatrice de [AB].

4. À quoi sert la médiatrice ?

• Elle permet de trouver précisément le milieu d'un segment, même sans règle graduée.
• Elle permet de construire un point équidistant de deux points donnés (par exemple pour placer un point à égale distance de deux villes sur une carte).
• Elle est une base pour des constructions géométriques plus complexes étudiées dans les classes suivantes.